96、P4P问题的五个解与控制点的对称排列

P4P问题的五个解与控制点的对称排列

1. 引言

透视4点问题（Perspective-4-Point, P4P）是计算机视觉中的一个重要问题，它涉及到从已知的四个控制点在图像中的投影坐标恢复相机的姿态和位置。这一问题不仅在理论研究中占据重要地位，而且在实际应用中也具有广泛的应用前景，例如机器人导航、增强现实、三维重建等。本篇文章将深入探讨当控制点形成对称排列时，P4P问题的五个解的特点和性质。

2. P4P问题概述

P4P问题的基本设定如下：假设有一个相机拍摄了一幅图像，图像中包含四个已知的控制点，这些控制点在世界坐标系中的位置已知。目标是从这些控制点在图像中的投影坐标推导出相机的内参矩阵和外参矩阵，从而确定相机的姿态和位置。

2.1 控制点的定义

设四个控制点在世界坐标系中的坐标分别为 ( \mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2, \mathbf{P}_3, \mathbf{P}_4 )，其对应的图像坐标为 ( \mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \mathbf{p}_3, \mathbf{p}_4 )。为了简化问题，我们假设相机的内参矩阵已知，即焦距和主点已知，因此只需求解外参矩阵。

2.2 数学模型

P4P问题可以通过以下非线性方程组来描述：

[
\begin{aligned}
\mathbf{p}_i &= \frac{\mathbf{K}[\mathbf{R}|\mathbf{t}]\mathbf{P}_i}{\mathbf{K}[\mathbf{R}|\mathbf{t}]\mathbf{P}_