9、序列算术相关性的研究与非二元码构造

序列算术相关性的研究与非二元码构造

1. ℓ - 序列的算术自相关

ℓ - 序列是 m - 序列的算术类似物。m - 序列是有限域 (F) 上有理函数 (f(x)/q(x)) 幂级数展开的系数序列，其中 (f) 的次数小于 (q) 的次数，(q) 不可约，且 (x) 是 (F[x]/(q)) 乘法群中的本原元，其经典移位自相关都等于 - 1，但互相关仅在少数特殊情况下已知。

N - 元 ℓ - 序列 (a) 是有理数 (f/q) 的 N - 进展开，其中 (\gcd(q, N) = 1)，(-q < f < 0)（保证 (a) 严格周期），且 (N) 是模 (q) 整数乘法群中的本原元，即 (ord_q(N)=\varphi(q))，这意味着 (q = p^t)（(p) 为素数）。

对于二元（(N = 2)）ℓ - 序列有如下定理：
- 定理 1 ：若 (a) 是二元 ℓ - 序列，(c) 和 (b) 是 (a) 的抽取序列，则 (c) 和 (b) 带移位 (\tau) 的算术互相关为零，除非 (\tau = 0) 且 (b = c)。

为确定非二元 ℓ - 序列的算术自相关，先看其不平衡性：
- 定理 2 ：设 (a) 是基于连接整数 (q = p^e)（(p) 为素数，(e\geq1)）的 N - 元 ℓ - 序列，则
[
|Z(a)| =
\begin{cases}
\leq2, & \text{对所有 } q \
\leq1, & \text{若 } q \text{ 是素数} \