LeetCode 53. 最大子数组和(动态规划)

LeetCode 53. 最大子数组和

原题

LeetCode 53. 最大子数组和

思路

  • 动态规划,dp[i] = max( 前面最大连续子数组和的值+当前的值, 当前的值)

代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int dp[n];
        int maxValue = nums[0];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
            maxValue = max(dp[i], maxValue);
        }
        return maxValue;
    }
};

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收获

LeetCode 53最大子数组问题,可使用动态规划中的 Kadane 算法来解决。 ### 动态规划解法思路 定义子问题,设 `dp[i]` 为以第 `i` 个数结尾的最大子数组。在计算每个位置结尾的最大子数组时,只需要关注前一个位置的最大子数组是否值得接续。若前面的是正数,就值得接续;若为负数,就重新开始。由此得到状态转移方程:`dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])`,最终答案是 `dp` 数组中的最大值 [^4]。 ### 代码实现 ```python def maxSubArray(nums): n = len(nums) # 初始化 dp 数组 dp = [0] * n dp[0] = nums[0] for i in range(1, n): dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]) return max(dp) # 测试示例 nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] print(maxSubArray(nums)) ``` ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:代码中有一个循环遍历数组,因此时间复杂度为 $O(n)$,其中 $n$ 是数组的长度。 - **空间复杂度**:使用了一个长度为 $n$ 的 `dp` 数组,因此空间复杂度为 $O(n)$。 ### 优化思路 可以发现,在状态转移过程中,`dp[i]` 只与 `dp[i - 1]` 有关,因此可以使用一个变量来代替 `dp` 数组,将空间复杂度优化到 $O(1)$。 ```python def maxSubArray(nums): n = len(nums) current_sum = nums[0] max_sum = nums[0] for i in range(1, n): current_sum = max(current_sum + nums[i], nums[i]) max_sum = max(max_sum, current_sum) return max_sum # 测试示例 nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] print(maxSubArray(nums)) ``` ### 总结 动态规划是解决最大子数组问题的有效方法,通过定义合适的子问题状态转移方程,可以将原问题分解为多个子问题进行求解。在本题中,使用 Kadane 算法可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内解决问题。同时,通过分析状态转移方程,可以对空间复杂度进行优化,将其从 $O(n)$ 降低到 $O(1)$。
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