组合数学 (习题): Mehta and the Typical Supermarket (HackerRank)

最新推荐文章于 2021-10-21 23:03:50 发布

TeeEye

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分类专栏：组合数学文章标签：组合数学容斥原理

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/vinceee__/article/details/89475862

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该博客探讨了一道组合数学问题，涉及利用容斥原理解决区间[L,R]内有多少数字能被N种硬币面值整除。通过举例说明，解释了如何计算这些数字，包括减去特定数目的最小公倍数来调整系数。" 100745576,6221609,JFinal代码生成器详解与使用技巧,"['Java', '数据库', 'JFinal框架']

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题目大意

有 $N$ 种硬币, 每种硬币无限个. 给定一个区间 $[L, R]$ , 问里面有多少个数字可以由这 $N$ 种硬币中的某一种组合出来. 也就是说问你区间内有多少个数可以被至少一枚硬币的面值整除

思路

典型的容斥原理, 比如有面值 2 和 3, 区间为 $[1, 10]$ , 那么其中可以被组合出来的数有 ${2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ , 很容易看出来, 如果一个数是这两个数的最小公倍数, 那么这个数应该被减掉 (系数为 $- 1$ ), 同理, 如果一个数是其中三个数的最小公倍数, 那么其系数应为 $+ 1$

代码

def gcd(a, b):
	if b == 0:
		return a
	return gcd(b, a % b)

def lcm(a, b):
	return result = a * b // gcd(a, b)

# 给定区间 L, R, 可以被 value 整除的数的个数
def nPlan(value, L, R):
	right = R // value
	left = L // value
	if L % value == 0:
		left -= 1
	return right - left

def _solve(val, i, count, L, R):
	if val > R:
		return 0
	if count == 0:
		return nPlan(val, L, R)
	result = 0
	for j in range(i+1, N):
		result += _solve(lcm(val, coins[j]), j, count-1, L, R)
	return result
	
def solve(count, L, R):
	result = 0
	for i in range(N):
		result += _solve(coins[i], i, count-1, L, R)
	return result

_N = int(input())
N = 0
coins = []

for i in range(_N):
	c = int(input())
	# 如果某一个硬币的面值被另一个整除, 那么这个硬币就没用了
	unique = True
	for j in range(N):
		if coins[j] % c == 0:
			coins[j] = c
			unique = False
			break
		if c % coins[j] == 0:
			unique = False
			break
	if unique:
		coins.append(c)
		N += 1

for _ in range(int(input())):
	L, R = map(int, input().split())
	result = 0
	for i in range(1, N+1):
		result += (-1)**(i-1) * solve(i, L, R)
	print(result)