37、最大似然估计在隐半马尔可夫模型中的应用

最大似然估计在隐半马尔可夫模型中的应用

1 最大似然估计的基本原理

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种常用的统计方法，用于估计模型参数。在隐半马尔可夫模型（Hidden Semi-Markov Model, HSMM）中，MLE的目标是找到一组参数，使得观测序列出现的概率最大化。具体来说，给定观测序列 ( O = {o_1, o_2, \dots, o_T} )，我们需要找到模型参数 (\lambda)，使得 ( P(O | \lambda) ) 最大。

1.1 概率模型

HSMM假设观测序列由一个底层的半马尔可夫过程控制，该过程具有未被观察到（隐藏的）状态。每个隐藏状态具有一个通常分布的持续时间，并且有一个可能观测值的概率分布。因此，最大似然估计的任务就是根据观测数据，推断出最有可能的模型参数。

1.2 似然函数

似然函数 ( L(\lambda | O) ) 定义为给定模型参数 (\lambda) 下观测序列 ( O ) 出现的概率。在HSMM中，似然函数可以表示为：

[ L(\lambda | O) = P(O | \lambda) = \sum_{S} P(S, O | \lambda) ]

其中 ( S ) 是隐藏状态序列，( P(S, O | \lambda) ) 是给定模型参数 (\lambda) 下状态序列 ( S ) 和观测序列 ( O ) 同时出现的联合概率。

2 模型参数的估计

2.1 状态转移概率

状态转移概率 ( a_{ij}(d) ) 表示从状