聚类分析（一）

聚类分析（一）

一、系统聚类含义

\qquad聚类分析一般分为Q型聚类分析和R型聚类分析。Q型聚类分析是指对样品进行聚类分析，R型聚类分析是指对变量进行聚类。根据处理方法的不同聚类分析又分为系统聚类法、有序样品聚类法、动态聚类法、模糊聚类法、图论聚类法。
\qquad系统聚类法一般步骤如下：
\qquad 1、将每一个样本（或指标）当做单独的一个类，计算每两个类之间的距离；
\qquad 2、将距离最小的两类作为一个新的类，新的类的值根据不同的处理方法计算得出，然后计算每一个类之间的距离。
\qquad 3、重复步骤2，直至所有样本（或指标）全部聚合成一类。
\qquad 4、按照不同的处理方确定分类数的方法，并进行分类。

二、数据要求

\qquad(一）样本与样本之间无顺序可言；
\qquad(二）样本数据无缺失值；
\qquad(三）样本数据是数值型的数据。
\qquad(四）常见的数据变换方法：
\qquad 1.中心变换：$x_{ij}=x_{ij}-\overline{x_j}$,变换之后新坐标的原点与样本的重心重合，而样本的相对位置没有变。
\qquad 2.标准化变换：$x_{ij}=\frac{x_{ij}-\overline{x_j}}{S_j}$，变换之后每个变量的样本均值为0，标准差为1，而且变换后的数据与量纲无关。
\qquad 3.极差正规化变换：$x_{ij}^{\ast }=\frac{x_{ij}-mi{n}_{1\le i\le n}{x}_{ij}}{R_j}$，变换后数据的在取值范围在[0,1],与量纲无关。

\qquad 4.对数变换：$x_{ij}^{\ast }=log(x_{ij})$
\qquad其中：
$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_{ij}(j=1,2,...,p)$$

$$S_j=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_{ij}-\overline{x_j}{)}^2}(j=1,2,...,p)$$

$$R_j=ma{x}_{i=1,2,...,p}{x}_{ij}-mi{n}_{i=1,2,...,p}{x}_{ij}$$

三、样品间的距离和相似系数

\qquad如果把$n$个样品（$X$中的$n$个行）看成$p$维空间中的$n$个点，则两个样品之间样品的相似程度可用$n$维空间中两点的距离来度量。令$d_{ij}$表示样品$X_{(i)}$和$X_{(j)}$的距离。常用的距离有：

\qquad （一）明氏距离

$$d_{ij}(q)=(\sum _{a=1}^p|x_{ia}-x_{ja}{|}^q{)}^{1/q}$$

\qquad当$q=1$时：
dij(1)=∑a=1p∣xia−xja∣即绝对距离d_{ij}(1)=\sum_{a=1}^p|x_{ia}-x_{ja}|\quad即绝对距离dij​(1)=a=1∑p​∣x