LU分解 Ax=b, A=LU

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LU分解

详细算法： https://zhuanlan.zhihu.com/p/84210687

示例：https://www.geeksforgeeks.org/l-u-decomposition-system-linear-equations/

LU分解的实现可以用SVD分解。

问题描述: 解方程Ax=b, A可以分解成 LU，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。

LU分解的意义：减少计算量，便于程序化。

数学推导：

Ax=LUx=b,令y=Ux，则Ly=b,先求出y,再根据y=Ux求出x.

通过高斯消元法(行列变换）

对矩阵A连续做行变换最终可以得到上三角矩阵

如：

A -行变换-> L0A -行变换->L1A-行变换->L2A->U

$\\L_{2}L_{1}L_{0}A=U\\ A=L_{0}^{-1}L_{1}^{-1}L_{2}^{-1}U=LU\\ L=L_{0}^{-1}L_{1}^{-1}L_{2}^{-1}$

示例AX=b

$\\ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 4 & 3 & -1\\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} x1\\ x2\\ x3 \end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix} 1\\ 6\\ 4\\ \end{pmatrix}\\$

做变换，L0=r2-4r1,L1=r3-3r1 得到

$\\ L_1L_0A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -5\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix},$

L2=r3+2r2,得到

$L_2L_1L_0A=\begin{pmatrix} 1 & 1 &1\\ 0 & -1 & -5\\ 0 & 0 & -10\\ \end{pmatrix}=U$

$L_0=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -4 &1 & 0\\ 0 & 0 &1\\ \end{pmatrix},L_0^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 4 &1 & 0\\ 0 & 0 &1\\ \end{pmatrix}$ 逆变换即对应元素相加为0，

$L_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ -3 & 0 &1\\ \end{pmatrix},L_1^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 3 & 0 &1\\ \end{pmatrix}$

$L_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 & 2 &1\\ \end{pmatrix},L_2^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 & -2 &1\\ \end{pmatrix}$

$L=L_0^{-1}L_1^{-1}L_2^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 4 &1 & 0\\ 0 & 0 &1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 3 & 0 &1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 & -2 &1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 4 &1 & 0\\3 & 0 &1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 & -2 &1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 4 &1 & 0\\ 3 & -2 &1\\ \end{pmatrix}$

逆变换相乘：对应元素相加