Bzoj 1036 树的统计

Description

一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。 对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output

对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

Sample Output

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

题解

2014.4.6 树链剖分。。。

参照了蒋一瑶神犇模板

http://wenku.baidu.com/link?url=SGLjpJtYbJ0HxDYlU_GMXE1qCFS0gbmpDGWPxI7mQuNAsJP0y872mNKwpZ8P054g5XMhFGZbMUjZvN5hcnxFFUEfGBj6-tnkpnJvnVSlqGS

树链剖分就是把树拆成一系列链，然后用数据结构对链进行维护。

通常的剖分方法是轻重链剖分，所谓轻重链就是对于节点u的所有子结点v，size[v]最大的v与u的边是重边，其它边是轻边，其中size[v]是以v为根的子树的节点个数，全部由重边组成的路径是重路径，根据论文上的证明，任意一点到根的路径上存在不超过logn条轻边和logn条重路径。

这样我们考虑用数据结构来维护重路径上的查询，轻边直接查询。

通常用来维护的数据结构是线段树，splay较少见。

具体步骤

预处理

第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x]，其为根的子树大小size[x]

以及祖先的信息fa[x][i]表示x往上距离为2^i的祖先

第二遍dfs

ž根节点为起点，向下拓展构建重链

选择最大的一个子树的根继承当前重链

其余节点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链

ž给每个结点分配一个位置编号，每条重链就相当于一段区间，用数据结构去维护。

把所有的重链首尾相接，放到同一个数据结构上，然后维护这一个整体即可

修改操作

ž1、单独修改一个点的权值

根据其编号直接在数据结构中修改就行了。

2、修改点u和点v的路径上的权值

（1）若u和v在同一条重链上

直接用数据结构修改pos[u]至pos[v]间的值。

（2）若u和v不在同一条重链上

一边进行修改，一边将u和v往同一条重链上靠，然后就变成了情况（1）。

查询操作

ž查询操作的分析过程同修改操作

题目不同，选用不同的数据结构来维护值，通常有线段树和splay

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define inf 0x7fffffff
#define N 30005 
#define M 60005
using namespace std;
int n,q,cnt,sz;
int fa[N][15],v[N],deep[N],size[N],head[N];
int pos[N],belong[N];
bool vis[N];
struct data{int to,next;}e[M];
struct seg{int l,r,mx,sum;}t[100005];
void insert(int u,int v)
{
    e[++cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u;e[cnt].next=head[v];head[v]=cnt;
}
void ini()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		insert(x,y);
	}
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);
}
void dfs1(int x)
{
    size[x]=1;vis[x]=1;
    for(int i=1;i<=14;i++)
    {
        if(deep[x] < (1<<i))break;
        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];//倍增处理祖先信息
    }
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
    {
        if(vis[e[i].to])continue;
        deep[e[i].to]=deep[x]+1;
        fa[e[i].to][0]=x;
        dfs1(e[i].to);
        size[x]+=size[e[i].to];
    }
}
void dfs2(int x,int chain)
{
    int k=0;sz++;
    pos[x]=sz;//分配x结点在线段树中的编号
	belong[x]=chain;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
        if(deep[e[i].to]>deep[x]&&size[e[i].to]>size[k])
            k=e[i].to;//选择子树最大的儿子继承重链
    if(k==0)return;
    dfs2(k,chain);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
        if(deep[e[i].to]>deep[x]&&k!=e[i].to)
            dfs2(e[i].to,e[i].to);//其余儿子新开重链
}
int lca(int x,int y)//求lca
{
    if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
    int t=deep[x]-deep[y];
    for(int i=0;i<=14;i++)
        if(t&(1<<i))x=fa[x][i];
    for(int i=14;i>=0;i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]) 
        {x=fa[x][i];y=fa[y][i];}
    if(x==y)return x;
    else return fa[x][0];
}
void build(int k,int l,int r)//建线段树
{
    t[k].l=l;t[k].r=r;
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
}
void change(int k,int x,int y)//线段树单点修改
{
    int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1;
    if(l==r){t[k].sum=t[k].mx=y;return;}
    if(x<=mid)change(k<<1,x,y);
    else change(k<<1|1,x,y);
    t[k].sum=t[k<<1].sum+t[k<<1|1].sum;
    t[k].mx=max(t[k<<1].mx,t[k<<1|1].mx);
}
int querysum(int k,int x,int y)//线段树区间求和
{
    int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1;
    if(l==x&&y==r)return t[k].sum;
    if(y<=mid)return querysum(k<<1,x,y);
    else if(x>mid)return querysum(k<<1|1,x,y);
    else {return querysum(k<<1,x,mid)+querysum(k<<1|1,mid+1,y);}
}
int querymx(int k,int x,int y)//线段树区间求最大值
{
    int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1;
    if(l==x&&y==r)return t[k].mx;
    if(y<=mid)return querymx(k<<1,x,y);
    else if(x>mid)return querymx(k<<1|1,x,y);
    else {return max(querymx(k<<1,x,mid),querymx(k<<1|1,mid+1,y));}
}
int solvesum(int x,int f)
{
    int sum=0;
    while(belong[x]!=belong[f])//不在一条重链上就将x跳到链首，走一条轻边，如此反复
    {
        sum+=querysum(1,pos[belong[x]],pos[x]);
        x=fa[belong[x]][0];
    }
    sum+=querysum(1,pos[f],pos[x]);
    return sum;
}
int solvemx(int x,int f)
{
    int mx=-inf;
    while(belong[x]!=belong[f])
    {
        mx=max(mx,querymx(1,pos[belong[x]],pos[x]));
        x=fa[belong[x]][0];
    }
    mx=max(mx,querymx(1,pos[f],pos[x]));
    return mx;
}
void solve()
{
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        change(1,pos[i],v[i]);
    scanf("%d",&q);char ch[6];
    for(int i=1;i<=q;i++) 
    {
        int x,y;scanf("%s%d%d",ch,&x,&y);
        if(ch[0]=='C'){v[x]=y;change(1,pos[x],y);}
        else
        {
            int t=lca(x,y);
            if(ch[1]=='M')
                printf("%d\n",max(solvemx(x,t),solvemx(y,t)));
            else
                printf("%d\n",solvesum(x,t)+solvesum(y,t)-v[t]);
        }
    }
}
int main()
{
	freopen("in.in","r",stdin);
    ini();
    dfs1(1);
    dfs2(1,1);
    solve();
    return 0;
}