15、线性系统频率响应与相关函数解析

线性系统频率响应与相关函数解析

在工程和科学领域，线性系统的频率响应分析是一项至关重要的工作。它有助于我们深入了解系统在不同频率信号输入下的行为，从而对系统进行优化和控制。下面将详细介绍线性系统频率响应的相关概念、计算方法以及实际应用。

1. 频率响应基础

线性系统具有一个重要特性：当系统受到正弦信号驱动时，系统的输出变量以及系统中的任何变量也都是同频率的正弦信号。例如，当输入信号为 $u_1(t) = U_{m1}\sin(\omega t)$ 时，输出信号为 $u_2(t) = U_{m2}\sin(\omega t + \varphi)$。这里，$U_{m1}$ 和 $U_{m2}$ 分别是输入和输出信号的振幅，$\omega$ 是信号频率（单位为 rad/s），$\varphi$ 是输出与输入信号之间的相移。

• 增益系数与增益 ：输出与输入信号振幅之比 $U_{m2}/U_{m1}$ 被称为链路的增益系数，而 $20\log_{10}(U_{m2}/U_{m1})$ 则是链路以 dB 为单位的增益。例如，若输入为单位振幅的正弦信号，输出正弦信号相位延迟 $\pi/3$（即 60°）且振幅为 2，则相移为 $-\pi/3$（即 -60°），增益系数为 2，增益约为 6 dB。

• 测量方法 ：测量链路的增益和相移通常使用信号发生器、电压表和相位差计。信号发生器连接到链路输入，电压表读取输入和输出信号的振幅，相位差可通过双束示波器或其他相位差计测量。

• 频率响应曲线