二元关系（续）

关系的性质

关系的五种基本性质

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　　关系的性质主要有以下五种：自反性，反自反性，对称性，反对称性和传递性。
定义7.11 设R为A上的关系，
　　（1） 若x(x∈A→<x,x>∈R)，则称R在A上是自反的。
　　（2） 若x(x∈A→<x,x>R)，则称R在A上是反自反的。
　　例如A上的全域关系EA，恒等关系IA都是A上的自反关系。小于等于关系L_A，整除关系D_B分别为A和B上的自反关系。包含关系R是给定集合族A上的自反关系。而小于关系和真包含关系都是给定集合或集合族上的反自反关系。

例7.10 设A={1,2,3}，R₁，R₂，R₃是A上的关系，其中
　　　　R₁＝{<1,1>,<2,2>}
　　　　R₂＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
　　　　R₃＝{<1,3>}
说明R₁，R₂和R₃是否为A上的自反关系和反自反关系。
　　解 R₂是自反的,R₃是反自反的,R₁既不是自反的也不是反自反的。

定义7.12 设R为A上的关系，
　　（1） 若xy(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R)，则称R为A上对称的关系。
　　（2） 若xy(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，则称R为A上的反对称关系。
　　例如A上的全域关系E_A，恒等关系I_A和空关系都是A上的对称关系。恒等关系I_A和空关系也是A上的反对称关系。但全域关系E_A一般不是A上的反对称关系，除非A为单元集或空集。
例7.11 设A＝{1,2,3}，R₁，R₂，R₃和R₄都是A上的关系，其中
　　　　R₁＝{<1,1>,<2,2>}
　　　　R₂＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>}
　　　　R₃＝{<1,2>,<1,3>}
　　　　R₄＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
说明R₁，R₂，R₃和R₄是否为A上对称和反对称的关系。
　　解 R₁既是对称也是反对称的。R₂是对称的但不是反对称的。R₃是反对称的但不是对称的。R₄既不是对称的也不是反对称的。
定义7.13 设R为A上的关系，若

　　　　xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),
则称R是A上的传递关系。
　　例如A上的全域关系E_A,恒等关系I_A和空关系都是A上的传递关系。小于等于关系，整除关系和包含关系也是相应集合上的传递关系。小于关系和真包含关系仍旧是相应集合上的传递关系。
例7.12 设A＝{1,2,3}，R₁，R₂，R₃是A上的关系，其中
　　　　R₁＝{<1,1>,<2,2>}
　　　　R₂＝{<1,2>,<2,3>}
　　　　R₃＝{<1,3>}
说明R₁，R₂和R₃是否为A上的传递关系。
　　解 R₁和R₃是A上的传递关系，R₂不是A上的传递关系。

关系性质的等价描述

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　　下面给出这五种性质成立的充分必要条件。

  定理7.9 设R为A上的关系，则
　　（1） R在A上自反当且仅当I_AR
　　（2） R在A上反自反当且仅当R∩I_A=
　　（3） R在A上对称当且仅当R=R^-1
　　（4） R在A上反对称当且仅当R∩R^-1I_A
　　（5） R在A上传递当且仅当RRR
　　证
　　（1） 必要性。
　　任取<x,y>，由于R在A上自反必有
　　　　<x,y>∈I_Ax,y∈A∧x=y<x,y>∈R
从而证明了I_AR
　　充分性。
　　任取x，有
　　　　x∈A<x,x>∈I_A<x,x>∈R
因此R在A上是自反的。

　　（2） 必要性。用反证法。
　　假设R∩I_A≠，必存在<x,y>∈R∩I_A。由于I_A是A上恒等关系，从而推出x∈A且<x,x>∈R。这与R在A上是反自反的相矛盾。
　　充分性。
　　任取x，则有
　　　　x∈A<x,x>∈I_A<x,x>R (由于R∩I_A=)
从而证明了R在A上是反自反的。

关系的闭包

基本概念

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　　设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质，比如说自反性。如果R不具有自反性，我们通过在R中添加一部分有序对来改造R，得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。

定义7.14 设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R'，使得R'满足以下条件：
　　（1）R'是自反的（对称的或传递的）
　　（2）RR'
　　（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R''有R'R''。
　　一般将R的自反闭包记作r(R)，对称闭包s(R)，传递闭包记作t(R)。

闭包的性质

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定理7.13 设R是非空集合A上的关系，
　　（1）若R是自反的，则s(R)与t(R)也是自反的。
　　（2）若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的。
　　（3）若R是传递的，则r(R)是传递的。
　　证 只证（2）。
　　由于R是A上的对称关系，所以R=R^-1，同时I_A=I_A^-1。得
　　　　(R∪I_A)^-1=R^-1∪I_A^-1
从而推出
　　　　r(R)^-1=(R∪R⁰)^-1=(R∪I_A)^-1=R^-1∪I_A^-1=R∪I_A=r(R)
这就证明了r(R)是对称的。
　　为证明t(R)是对称的，先证明下述命题：
　　若R是对称的，则Rⁿ也是对称的，其中n是任何正整数。
　　用归纳法。
　　n=1，R¹=R显然是对称的。
　　假设R