非旋treap

本文介绍了一种使用平衡树实现的数据结构及其核心操作方法,包括节点创建、更新、分裂与合并等,并通过具体实例展示了如何利用这些操作进行增删查改等常见任务。

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#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
using namespace std;
int rt,val[N],lch[N],rch[N],pro[N],sz[N],cnt;
int rnd()
{
	static int sd=4234;
	return sd*=3423;
}
int node(int v)
{
	val[++cnt]=v;
	pro[cnt]=rnd();
	sz[cnt]=1;
	return cnt;
}
void update(int t)
{
	sz[t]=sz[lch[t]]+sz[rch[t]]+1;
}
void split(int t,int v,int & a,int & b)
{
	if(!t)
	{
		a=b=0;
		return;
	}
	if(v<=val[t])
	{
		b=t;
		split(lch[t],v,a,lch[b]);
	}
	else
	{
		a=t;
		split(rch[t],v,rch[a],b);
	}
	update(t);
}
int merge(int a,int b)
{
	if(!(a&&b))
	{
		return a+b;
	}
	if(pro[a]<pro[b])
	{
		lch[b]=merge(a,lch[b]);
		update(b);
		return b;
	}
	else
	{
		rch[a]=merge(rch[a],b);//
		update(a);
		return a;
	}
}
int find(int k)
{
	int t=rt;
	while(k!=sz[rch[t]]+1)
	{
		if(k<=sz[rch[t]]) t=rch[t];
		else k-=sz[rch[t]]+1, t=lch[t];
	}
	return val[t];
}
int main()
{
	int n,mn,x,y,z,o=0,ans=0;
	char s[10];
	scanf("%d%d",&n,&mn);
	while(n--)
	{
		scanf("%s%d",s,&x);
		if(s[0]=='A') o-=x;
		else if(s[0]=='S') o+=x, split(rt,o+mn,y,rt), ans+=sz[y];
		else if(s[0]=='I') if(x>=mn) split(rt,x+o,y,z), rt=merge(merge(y,node(x+o)),z); else;
		else if(s[0]=='F') printf("%d\n",sz[rt]>=x ? find(x)-o : -1);
	}
	printf("%d\n",ans);
}

Treap(Tree + Heap)是一种结合了二叉搜索树(BST)和堆(Heap)特性的平衡二叉搜索树数据结构。其核心原理在于每个节点维护两个值:一个用于二叉搜索树性质的键值(key),以及一个用于最大堆性质的优先级(priority)。通过这两个属性,Treap在插入和删除操作时保持树的平衡性,从而确保操作的时间复杂度接近于对数级别。 ### Treap的基本原理 1. **二叉搜索树性质**:对于任意节点,其左子树中所有节点的键值小于当前节点的键值,右子树中所有节点的键值大于当前节点的键值。 2. **堆性质**:每个节点的优先级大于其子节点的优先级,这样可以确保树的结构在插入或删除时通过转操作保持平衡。 在插入新节点时,Treap首先按照二叉搜索树的方式找到合适的位置,并赋予该节点一个随机的优先级。如果该节点的优先级违反了堆性质,则通过转操作调整树的结构以恢复堆性质。删除操作类似,通过转确保堆性质得以维持。 ### 无Treap的实现 无Treap(Non-Rotating Treap)是Treap的一个变种,它通过分裂(Split)和合并(Merge)操作来实现树的平衡,而不是传统的转操作。分裂操作将树按照某个键值或位置分割为两部分,而合并操作将两个树合并为一个。这种方式简化了实现逻辑,尤其是在处理复杂操作时[^2]。 例如,分裂操作可以通过以下方式实现(以键值为分割点): ```python def split(node, key): if node is None: return (None, None) if node.key <= key: left, right = split(node.right, key) node.right = left return (node, right) else: left, right = split(node.left, key) node.left = right return (left, node) ``` 合并操作则需要确保堆性质的维护: ```python def merge(left, right): if left is None: return right if right is None: return left if left.priority > right.priority: left.right = merge(left.right, right) return left else: right.left = merge(left, right.left) return right ``` ### 应用场景 Treap由于其高效的平衡特性,广泛应用于需要高效查找、插入和删除操作的场景。常见的应用包括: - **数据库索引**:Treap可以用于实现高效的索引结构,支持快速的数据检索。 - **内存中的集合与映射**:在需要频繁插入和删除元素的场景中,Treap提供了良好的性能保障。 - **算法竞赛**:在某些需要高效数据结构的竞赛题中,Treap常被用来实现动态集合操作[^1]。 ### 实现细节 在实现Treap时,需要注意以下几点: - **随机优先级生成**:为了保证树的平衡性,每个节点的优先级应随机生成,通常使用大范围的整数以减少冲突的可能性。 - **递归与递归实现**:虽然递归实现较为直观,但在大规模数据处理时可能会导致栈溢出,因此在实际应用中可以考虑递归实现。 - **类型安全与内存管理**:特别是在使用Rust等语言时,需注意类型约束和内存安全,以确保程序的稳定性和可靠性[^1]。 通过理解Treap的原理和实现方式,开发者可以更好地将其应用于实际项目中,并根据需求进行扩展和优化。
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