33、图像变形处理：连续与离散域的深入解析

图像变形处理：连续与离散域的深入解析

1. 连续域中的图像变形

在连续域中处理图像变形时，同胚变形通常就足以满足需求。当我们在图像表示的范畴内工作时，使用的是离散图像，最多也就是在离散的像素集合及其颜色之间建立一一映射。

图像变形映射可以被看作是一种坐标变换。不过，从这个角度思考时需要格外小心，因为坐标系的改变可能会引发混淆。例如，将坐标轴逆时针旋转与在坐标轴固定的情况下将图像中的物体顺时针旋转，在方程上会产生相同的效果。这也是为什么我们通过与 (h^{-1}) 复合而不是与 (h) 复合来得到变形后的图像 (g)。

我们通常假设原始坐标系为 ((x, y))，变形后的坐标系为 ((u, v))。也就是说，如果原始图像中某个特征的坐标是 ((x, y))，那么在变形后的图像中，同一特征的坐标将是 (h(x, y) = (u, v))，其中 (u = u(x, y)) 且 (v = v(x, y))。当我们对图像 (f) 应用变形变换 (h) 得到图像 (g) 时，通常称 (f) 为源图像，(g) 为目标图像。

1.1 扩张与收缩变换

• 扩张变换 ：对于映射 (T : U \subset R^2 \to R^2)，如果存在 (\lambda > 1)，使得对于所有的 (X, Y \in U)，都有 (|T(X) - T(Y)| \geq \lambda |X - Y|)，那么 (T) 就是一个扩张变换，它会使距离增大。
• 收缩变换 ：如果存在 (\lambda \in (0, 1))，使得对于所有的 (X, Y \in U)