证明:对于一个矩形A,可以找到另一个矩形B的周长和面积都为A的n倍(一)修正

博客指出原证明1过程有误需修改。通过设矩形A、B的长和宽,列出方程组,经过代入化简得到方程,再根据判别式情况,证明当n≥1时,能得到周长和面积均为给定矩形A的n倍的矩形B。

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证明1的过程有错,虽然结果还是必然成立,但是还是改一下~

据题意,设B的长和宽为xyA的长宽分别为ab,得方程组:

x + y = n ( a + b )

x y = a b n

由①得:③y = a n + b n – x

将③带入②得:

x ( a n + b n – x ) = a b n

x2 – a n x – b n x + a b n = 0

设在④中Δ<0,则可得:

[ - ( a + b ) n ]2 – 4 * 1 * a b n < 0

a2 n2 + 2 a b n2 + b2 n2 – 4 a b n < 0

a2 n2 + 2 a b n2 + b2 n2 < 4 a b n

a2 n2 + b2 n2 < 4 a b n – 2 a b n2

( a2 + b2 ) n2 < 2 a b n ( 2 – n)

n ( a + b )2 – 2 a b n < 4 a b – 2 a b n

( a + b )2 n < 4 a b

∵( a + b )2 > 4 a b

 n≥1

( a + b )2 n > 4 a b

( a + b )2 n < 4 a b矛盾

∴Δ≥0,即当n≥1时,可以得到一个矩形B的周长和面积均为给定矩形An

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