求最大连续和的几种方法-优快云博客

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本文介绍了三种不同的算法方法来解决寻找序列中最大连续和的问题。方法一采用暴力枚举，时间复杂度为O(n^3)；方法二利用前缀和优化至O(n^2)；方法三通过分治法实现O(n log n)的时间复杂度。这些方法在解决此类问题时提供了效率上的选择。

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本文内容参考《算法竞赛入门经典第2版》220~223页
Q：给出一个长度为 $n$ 的序列 $,AnA_{1},A_{2},A_{3},\cdots,A_{n}$ ，求最大连续和。换句话说，要求找到 $1≤i≤j≤n1\leq i\leq j \leq n$ ，使得 $Ai+Ai+1+⋯+AjA_{i}+A_{i+1}+\cdots+A_{j}$ 尽量大。
方法一：
暴力枚举，时间复杂度 $O(n^{3})$

ans=A[1];//所求的最大连续和 
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=i;j<=n;j++){//枚举区间[i,j] 
		int sum=0;
		for(int k=i;k<=j;k++){//对区间[i,j]内的所有数求和 
			sum+=A[k];
		}
		ans=max(sum,ans);//取最大值 
	}
}

方法二：
利用前缀和，时间复杂度 $O(n^{2})$

s[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){//提前求前缀和（s[i]表示从A[i]数组从1到i的所有数之和），降低时间复杂度 
	s[i]=s[i-1]+A[i];
}
ans=s[0];
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=i;j<=n;j++){
		ans=max(ans,s[j]-s[i-1]);
	}
}

方法三：
分治法，时间复杂度 $O (n l o g n)$

int maxSum(int*A,int x,int y){//返回数组在左闭右开区间[x,y)中的最大连续和 
	if(y-x==1){
		return A[x];
	}
	int m=x+(y-x)/2;//划分成[x,m)和[m,y) 
	int maxs=max(maxSum(A,x,m),maxSum(A,m,y));
	int v,L,R;
	v=0;
	L=A[m-1];
	for(int i=m-1;i>=x;i--){//从分界点往左的最大连续和 
		L=max(L,v+=A[i]);
	}
	v=0;
	R=A[m];
	for(int i=m;i<y;i++){//从分界点往右的最大连续和 
		R=max(R,v+=A[i]);
	}
	return max(maxs,L+R);//子问题的解与L和R比较 
}