单调队列 leetcode—239. 滑动窗口最大值

我在做leetcode—239. 滑动窗口最大值这道题时，看到最优解都用到了单调队列这一数据结构。查遍好多博文之后觉得还是不好理解，直到看到了Pecco大佬的这一篇帖子，写的非常不错，形象易懂，在此推荐该篇文章。

文章原文：算法学习笔记(66): 单调队列

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“如果一个选手比你小还比你强，你就可以退役了。”——单调队列的原理

好久没写笔记了，先补一个简单的。单调队列是一种主要用于解决滑动窗口类问题的数据结构，即，在长度为 [公式] 的序列中，求每个长度为 [公式] 的区间的区间最值。它的时间复杂度是 [公式] ，在这个问题中比 [公式] 的ST表和线段树要优。

单调队列的基本思想是，维护一个双向队列（deque），遍历序列，仅当一个元素可能成为某个区间最值时才保留它。

形象地打个比方，上面的序列可以看成学校里各个年级XCPC选手，数字越大代表能力越强。每个选手只能在大学四年间参赛，毕业了就没有机会了。那么，每一年的王牌选手都在哪个年级呢？

一开始的时候，大三大四的学长都比较菜，大二的最强，而大一的等大二的毕业后还有机会上位，所以队列里有两个数。

一年过去了，原本大一的成为大二，却发现新进校的新生非常强，自己再也没有机会成为最大值了，所以弹出队列。

又过了一年，新入校的新生尽管能力只有1，但理论上只要后面的人比他还菜，还是可能成为区间最大值的，所以入队。

终于，原本的王牌毕业了，后面的人以为熬出头了，谁知道这时一个巨佬级别的新生进入了集训队，这下其他所有人都没机会了。

（这只是比方，现实中各位选手的实力是会增长的，不符合这个模型ovo）

总之，观察就会发现，我们维护的这个队列总是单调递减的。如果维护区间最小值，那么维护的队列就是单调递增的。这就是为什么叫单调队列。

代码也很简洁：

deque<int> Q; // 存储的是编号
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
    if (!Q.empty() && i - Q.front() >= m) // 毕业
        Q.pop_front();
    while (!Q.empty() && V[Q.back()] < V[i]) // 比新生弱的当场退役（求区间最小值把这里改成>即可）
        Q.pop_back();
    Q.push_back(i); // 新生入队
    if (i >= m - 1)
        cout << V[Q.front()] << " ";
}

例题
（洛谷P2216 [HAOI2007]理想的正方形）

题目描述
有一个ab的整数组成的矩阵，现请你从中找出一个nn的正方形区域，使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。
输入格式
第一行为3个整数，分别表示a,b,n的值 第二行至第a+1行每行为b个非负整数，表示矩阵中相应位置上的数。每行相邻两数之间用一空格分隔。
输出格式
仅一个整数，为ab矩阵中所有“nn正方形区域中的最大整数和最小整数的差值”的最小值。 这个题可以用单调队列先后处理行和列。

矩阵中的每一行可以看作长度为 [公式] 的序列，我们用单调队列求出其中所有长度为 [公式] 的区间的最值。对每行都如此操作，即可求出每个 [公式] 的长方形区域中的最大、最小整数。

这些最值又构成一个矩阵。我们再把这个新矩阵的每一列看作一个序列，求其中所有长度为 [公式] 的区间最值。这样，可以求出原矩阵每个 [公式] 的正方形区域中的最大、最小整数。

这时我们得到两个 [公式] 的矩阵，包含了所有 [公式] 正方形区域的最小、最大值，遍历一遍求最小差即可。

（洛谷P2034 选择数字）

题目描述
给定一行n个非负整数a[1]…a[n]。现在你可以选择其中若干个数，但不能有超过k个连续的数字被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大。
输入格式
第一行两个整数n，k 以下n行，每行一个整数表示a[i]。
输出格式
输出一个值表示答案。 这种题是很典型的单调队列优化DP。

我们把问题转化为删除若干个数，且删除的数间隔不超过k，求删除数的最小值。设dp[i]表示在删除第i个数的情况下， 前i个数中删除数的最小和。那么很容易想到转移方程：

这是因为，如果要删除某个数，除非它是前k+1个数之一，否则在它之前的k+1个数中，至少要删除一个。最后的答案在最后k+1个数里找最小值，然后用总和去减即可，因为最后k+1个数中至少有一个是要删除的。

这个朴素方法是O(nm)的，为了优化它，我们可以使用单调队列。注意到，我们不断地在求dp的区间最小值，而且区间长度是固定的m+1，这正好符合滑动窗口的模型。只不过，我们需要动态地进行整个过程，即，在维护单调队列的过程中求出dp。

附一份参考代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    ll n, m, sum = 0;
    cin >> n >> m;
    vector<ll> A(n + 1), dp(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> A[i], sum += A[i];
    deque<int> Q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if (i > m + 1)
            dp[i] = dp[Q.front()] + A[i];
        else
            dp[i] = A[i];
        if (!Q.empty() && i - Q.front() >= m + 1)
            Q.pop_front();
        while (!Q.empty() && dp[Q.back()] > dp[i])
            Q.pop_back();
        Q.push_back(i);
    }
    cout << sum - *min_element(dp.end() - m - 1, dp.end()) << endl;
    return 0;
}