逻辑回归算法（二）-----SparkMLlib实现

1.1 逻辑回归算法

1.1.1 基础理论

logistic回归本质上是线性回归，只是在特征到结果的映射中加入了一层函数映射，即先把特征线性求和，然后使用函数g(z)将最为假设函数来预测。g(z)可以将连续值映射到0和1上。
它与线性回归的不同点在于：为了将线性回归输出的很大范围的数，例如从负无穷到正无穷，压缩到0和1之间，这样的输出值表达为“可能性”才能说服广大民众。当然了，把大值压缩到这个范围还有个很好的好处，就是可以消除特别冒尖的变量的影响。

Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：

Sigmoid 函数在有个很漂亮的“S”形，如下图所示：

给定n个特征x=(x1,x2,…,xn)，设条件概率P(y=1|x)为观测样本y相对于事件因素x发生的概率，用sigmoid函数表示为：

那么在x条件下y不发生的概率为：

假设现在有m个相互独立的观测事件y=(y1,y2,…,ym)，则一个事件yi发生的概率为(yi= 1)

当y=1的时候，后面那一项是不是没有了，那就只剩下x属于1类的概率，当y=0的时候，第一项是不是没有了，那就只剩下后面那个x属于0的概率（1减去x属于1的概率）。所以不管y是0还是1，上面得到的数，都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集，也就是n个独立的样本出现的似然函数为（因为每个样本都是独立的，所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘）：

然后我们的目标是求出使这一似然函数的值最大的参数估计，最大似然估计就是求出参数，使得

取得最大值，对函数取对数得到

这时候，用L(θ)对θ求导，得到：

1.1.2 梯度下降算法 θ更新过程：

θ更新过程可以写成：

向量化Vectorization Vectorization是使用矩阵计算来代替for循环，以简化计算过程，提高效率。 如上式，Σ(...)是一个求和的过程，显然需要一个for语句循环m次，所以根本没有完全的实现vectorization。 下面介绍向量化的过程： 约定训练数据的矩阵形式如下，x的每一行为一条训练样本，而每一列为不同的特称取值：

g(A)的参数A为一列向量，所以实现g函数时要支持列向量作为参数，并返回列向量。由上式可知

可由

一次计算求得。 θ更新过程可以改为：

综上所述，Vectorization后θ更新的步骤如下： （1）求