算法导论——lec 04 递归式

  在分治法中，我们经常会将一些问题分解为几个子问题，每个子问题的规模都比原问题要小，而求解子问题相对于解原问题要容易一些。如此递归地分割子问题，就得到更小的子子问题，当问题的规模小到一定的程度的时候，子问题就可以直接求解，当我们获得最下层子问题的解的时候，就可以通过合并子问题的解来获得上层子问题的解，如此类推，最后就能得到原问题的解。

        假设原问题的规模为n，我们利用分治法将原问题分解为a个子问题，每个子问题的规模是原问题的1/b，假设分割原问题的时间为D(n)，合并问题的时间为C(n)，最后就可以得到如下的递推关系：

那么得到以上的递推关系式以后，我们如何得到问题的时间复杂度T(n)呢？本文就介绍三种解决这类问题的方法。

一、 代换法

代换法是先猜测有某个界存在，然后用数学归纳法来证明这个猜测的正确性。用代换法求解需要两个步骤：猜测解的形式；用数学归纳法找出使解真正有效的常数。

一般先确定其界， 然后根据边界条件确定常数。

例题一：T(n)=2T(⌊n/2⌋)+n

我们猜测其解为T (n) = O(n lg n)， 即存在常数c，使得T(n) <= c n lg n

于是，T(n) = 2T(⌊n/2⌋)+n <= 2 * (c ⌊n/2⌋ lg ⌊n/2⌋) + n <= 2 * (c n/2 lg n/2) + n  = cn lgn - cn + n <= c n lg n

当c > 1的时候上式成立。

边界条件：由定义只要找出n0，使得当n >= n0的时候T(n) <= c n lg n即可，

我们取n0 = 2，可证边界条件成立。

代换法的缺点：不存在通用的方法，需要经验。

试探法、 递归树、 类似的先例、 先证明递归式的上下界然后不断缩小不确定性区间等。

例题二：经验——减掉一个低阶项  T (n) = T (⌊n/2⌋) + T (⌈n/2⌉) + 1

我们猜测解为T(n) = O(n)，这样就存在正常数c，是得对于n >= n0时有 T(n) <= cn

 T (n) = T (⌊n/2⌋) + T (⌈n/2⌉) + 1 <= c (⌊n/2⌋) + c (⌈n/2⌉) + 1 = cn + 1

与所猜测的解不一致；

这里我们可以考虑减掉一个低阶项，使得T(n) <= cn - b