MATLAB与Python编程实践案例解析

40、重现自由落体问题精确解的脚本（名为 FFall.m），并针对一系列摩擦系数（例如 k = 0.1 和 k = 0.3）执行该脚本。

文中未给出 FFall.m 脚本的具体内容，无法直接重现该脚本。一般来说，需要根据自由落体问题的精确解公式编写 FFall.m 脚本，之后在 MATLAB 环境中运行该脚本，并设置摩擦系数 k 分别为 0.1 和 0.3 来执行。

41、使用 0 - 1 向量而非 for 循环编写一些语句来模拟抛硬币 50 次。提示：生成一个包含 50 个随机数的向量，设置 0 - 1 向量来表示正面和反面，并使用 double 和 char 将结果显示为一串 H 和 T。

以下是实现该功能的 MATLAB 代码：

% 生成 50 个随机数的向量
random_numbers = rand(1, 50);

% 设置 0 - 1 向量表示正反，小于 0.5 为正面（用 1 表示），否则为反面（用 0 表示）
coin_results = random_numbers < 0.5;

% 将 0 - 1 向量转换为 H 和 T 字符串
result_string = char(double(coin_results) + 'H');
result_string(result_string == ('H' + 1)) = 'T';

% 显示结果
disp(result_string);

上述代码首先生成了 50 个随机数，然后根据随机数与 0.5 的大小关系生成 0 - 1 向量表示硬币的正反，最后将 0 - 1 向量转换为 H 和 T 组成的字符串并显示出来。

42、随机数生成器可按如下方法估算 π（这种方法称为蒙特卡罗方法）。编写一个脚本，在边长为 2 的正方形内生成随机点，并统计这些点中有多大比例落在恰好能放入该正方形内的单位半径圆内。这个比例就是圆面积与正方形面积之比。由此估算 π。（这不是一种非常高效的方法，从获得一个粗略近似值所需的点数就能看出来）。

以下是实现该功能的 MATLAB 脚本示例：

% 生成的随机点数量
num_points = 100000;

% 生成随机点的 x 和 y 坐标，范围在 [-1, 1]
x = 2 * rand(num_points, 1) - 1;
y = 2 * rand(num_points, 1) - 1;

% 计算点到原点的距离
r = sqrt(x.^2 + y.^2);

% 统计落在圆内的点的数量
num_inside_circle = sum(r <= 1);

% 计算比例
proportion = num_inside_circle / num_points;

% 估算 π
pi_estimate = 4 * proportion;

% 显示结果
fprintf('估算的 π 值为: %.10f\n', pi_estimate);

代码解释：

1. 生成随机点 ：使用 rand 函数生成 num_points 个在 [-1, 1] 范围内的随机点。
2. 计算距离 ：计算每个点到原点的距离 r 。
3. 统计落在圆内的点 ：使用 sum 函数统计距离小于等于 1 的点的数量。
4. 计算比例 ：计算落在圆内的点的比例。
5. 估算 π ：由于圆面积与正方形面积之比为 π/4 ，所以将比例乘以 4 得到 π 的估算值。
6. 显示结果 ：使用 fprintf 函数显示估算的 π 值。

43、假设某种细菌按以下规则分裂或死亡：(a)在一个固定的时间间隔（称为一代）内，单个细菌以概率p分裂成两个相同的副本；(b)若在该时间间隔内不分裂，则死亡；(c)子代（称为子细菌）在下一代会独立于过去的历史进行分裂或死亡（可能没有子代，此时菌群灭绝）。从单个细菌开始，编写一个模拟多代的脚本。取p = 0.75，可模拟的代数取决于计算机系统。进行100次这样的模拟。最终灭绝的概率p(E)可通过模拟中灭绝的比例来估计。也可以从大量模拟中估计第n代的平均大小，并将其与理论平均值(2p)^n进行比较。统计理论表明，灭绝概率p(E)的期望值是1和(1 - p)/p中的较小值。所以当p = 0.75时，p(E)的期望值是1/3。但当p ≤ 0.5时，p(E)的期望值是1，这意味着灭绝是必然的。可以通过对不同的p值运行脚本并在每种情况下估计p(E)来验证这一理论。

细菌分裂和死亡模拟脚本

本题要求编写一个模拟细菌分裂和死亡的脚本，具体步骤如下：

1. 设定初始条件，从单个细菌开始，取 $ p = 0.75 $。
2. 编写脚本模拟多代细菌的分裂和死亡情况，可模拟的代数取决于计算机系统。
3. 进行100次模拟，通过模拟中灭绝的比例来估计最终灭绝的概率 $ p(E) $。
4. 从大量模拟中估计第 $ n $ 代的平均大小，并与理论平均值 $ (2p)^n $ 进行比较。
5. 统计理论表明，灭绝概率 $ p(E) $ 的期望值是1和 $ \frac{1 - p}{p} $ 中的较小值。当 $ p = 0.75 $ 时，$ p(E) $ 期望值为 $ \fra