POJ 3660 && NYIST 211 Cow Contest && ZOJ 1060 Sorting It All Out【Floyd算法扩展应用】

原文地址：http://blog.pureisle.net/archives/165.html

 

Floyd算法:

Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法(百度百科给的。。。)。

核心思路

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);（由此可见Floyd算法不适合大规模数据、稀疏矩阵处理，比较适合小规模密集矩阵类的题目）

其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}

map[i,j]表示i到j的最短距离

K是穷举i,j的断点

map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有map[i,k]这条路

Floyd作为最短路算法众所周知，但是还有一些扩展性应用，比如可以根据元素间的某种关系建图，对图中的各个元素间的关系进行一个关系传递闭包。

 

题目来源：POJ 3660 Cow Contest

题意：n头牛 下面m行 每行x y 代表牛x打败了牛y 问有几头牛的最终排名是确定的

思路：传递闭包 如果x打败了y 令a[x][y]=1 并且a[y][x]=-1 其他不知道的都为0  然后floyd

最后对于每头牛数一下是否有n-1个1或者-1(就是不为0) 如果有n-1个不为0 说明该牛和其他牛都确定了状态

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <string>
using namespace std;
const int maxn = 110;
int a[maxn][maxn];
int n, m;


void floyd()
{
	for(int k = 1; k <= n; k++)
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			for(int j = 1; j <= n; j++)
			{
				if(a[i][k]  == -1  && a[k][j] == -1)
					a[i][j] = -1;
				if(a[i][k]  == 1  && a[k][j] == 1)
					a[i][j] = 1;
			}
}

int main()
{
	scanf("%d %d", &n, &m);
	while(m--)
	{
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		a[u][v] = 1;//赢 
		a[v][u] = -1;//输 
	}
	floyd(); 
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int cnt = 0;
		for(int j = 1; j <= n; j++)
		{
			if(i == j)
				continue;
			if(a[i][j])
				cnt++;
		}
		if(cnt == n-1)
		{
			ans++;
			//printf("%d\n", i);
		}
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}