878. Nth Magical Number

最新推荐文章于 2024-01-11 10:44:57 发布

Alden He

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本文探讨了如何找到第N个能被A或B整除的正整数，即魔法数。提供了两种方法：一是数学方法，利用最小公倍数计算；二是二分法，适用于大范围数值。通过实例解析，帮助理解算法背后的数学原理。

A positive integer is magical if it is divisible by either A or B.
Return the N-th magical number. Since the answer may be very large, return it modulo 10^9 + 7.

Example 1:

Input: N = 1, A = 2, B = 3
Output: 2

Example 2:

Input: N = 4, A = 2, B = 3
Output: 6

Example 3:

Input: N = 5, A = 2, B = 4
Output: 10

Example 4:

Input: N = 3, A = 6, B = 4
Output: 8

Note:

1 <= N <= 10^9
2 <= A <= 40000
2 <= B <= 40000

方法1：数学方法

如果 $L\color{red}{L}$ 是A和B的最小公倍数
则存在不大于L的Magical数的数量是 $M=L/A+L/B−1\color{red}{M=L/A+L/B-1}$
例如A=2，B=3，其最小公倍数L=6，则M=4
现在假设 $N=M∗q+r,(r<M)\color{red}{N=M*q+r,(r<M)}$
而第 $M∗q\color{red}{M*q}$ 个Magical数是 $L∗q\color{red}{L*q}$ ，接下来就是求r了，r就比较好求了

class Solution {
    public int nthMagicalNumber(int N, int A, int B) {
        int MOD = 1_000_000_007;
        int L = A / gcd(A, B) * B;//最小公倍数
        int M = L / A + L / B - 1;//小于等于最小公倍数的Magical数的数量
        int q = N / M, r = N % M;//N=M*q+r

        long ans = (long) q * L % MOD;
        if (r == 0)
            return (int) ans;

        int[] heads = new int[]{A, B};
        for (int i = 0; i < r - 1; ++i) {
            if (heads[0] <= heads[1])
                heads[0] += A;
            else
                heads[1] += B;
        }

        ans += Math.min(heads[0], heads[1]);
        return (int) (ans % MOD);
    }

    public int gcd(int x, int y) {
        if (x == 0) return y;
        return gcd(y % x, x);
    }
}

方法2：二分法

很明显，我们所需要求的Magical是N的单调递增函数，因此我们可以确定上边界和下边界来进行二分搜索，我们使用 $f(x)\color{red}{f(x)}$ 来表示小于等于x的magical数的数量，则
$f(x)=floor(x/A)+floor(x/B)−floor(x/L)\color{red}{f(x)=floor(x/A)+floor(x/B)-floor(x/L)}$ (L为A，B的最小公倍数)，这个公式很简单，也就是求两个集合的并集的步骤是集合A+集合B-集合AB的交集，然后就是简单的二分搜索了

class Solution {
    public int nthMagicalNumber(int N, int A, int B) {
        int MOD = 1_000_000_007;
        int L = A / gcd(A, B) * B;

        long lo = 0;
        long hi = (long) 1e15;
        while (lo < hi) {
            long mi = lo + (hi - lo) / 2;
            // If there are not enough magic numbers below mi...
            if (mi / A + mi / B - mi / L < N)
                lo = mi + 1;
            else
                hi = mi;
        }

        return (int) (lo % MOD);
    }

    public int gcd(int x, int y) {
        if (x == 0) return y;
        return gcd(y % x, x);
    }
}