HDU_4704_Sum_隔板原理、二项式定理、同余定理、费马小定理、快速幂

最新推荐文章于 2025-08-10 21:28:09 发布

_Aka

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文章标签：算法数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u014610925/article/details/40371541

本文介绍了一种解决大数分割组合计数问题的方法，利用隔板原理和费马小定理，将问题转化为模意义下的快速幂计算。通过字符串处理实现大数取模，避免了直接使用大数运算。

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今天连A两道题，其实都是之前就知道怎么做了只不过没敲代码。

题意：

给一个小于10^100000的正整数，定义S(k)是把n分割成k个正整数的方法数，求( S(1)+...+S(n) )%(10^9+7)

输入：n

输出：( S(1)+...+S(n) )%(10^9+7)

首先根据隔板原理，S(K)=C(N-1,K-1)，然后S(1)+..+S(n)根据二项式定理就等于2^(n-1)，但是n极大，幂运算又不满足同余定理，这时可以应用费马小定理，

费马小定理：对一个素数mod，有( x^(mod-1) ) % mod = 1，即欧拉定理在mod为素数情况下的特例

为了把(n-1)缩小，把n-1变成(n-1) % (mod-1) + (n-1) / (mod-1) * (mod-1)，然后分割开，加号右边的部分根据费马小定理等于1,左边的部分在n-1取模后变得很小，取模通过字符串存储同余定理完成。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
using namespace std;
#define mxn 100010
#define mod 1000000007
char a[mxn];
long long quick_power(long long n){
	if(n==1)	return 2;
	else if(!n)	return 1;
	long long tem=quick_power(n/2);
	if(n%2)	return tem*tem%mod*2%mod;
	return tem*tem%mod;
}
long long MOD(char in[]){
	int len=strlen(in);
	long long ret=0;
	for(int i=0;i<len;++i)
		ret=(ret*10+in[i]-'0')%(mod-1);
	return ret;
}
int main(){
	while(scanf("%s",a)!=EOF){
		long long n=MOD(a);
		long long ans=quick_power(n-1);
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}