动态规划-不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解题思路

使用dp[n]表示1-n可以用多少颗不同的二叉搜索树，那么

1. dp[0]=1;(假设空树也是一颗树）
2. dp[1]=1；
3. dp[2]=2;
4. dp[3]=1*2+2*1+1*1;

dp[3]为什么这么算。我们结合例子来看。
首先

  1          1
    \         \
     3         2
    /           \
   2             3

这两种情况都可看成是根节点的左子树是空，右子树是2个节点的树，那么这种树就有dp[0]*dp[2]=1*2种。

    3         3     
   /         /     
  2         1     
 /           \     
1             2    

而这两种情况就是左子树是2个节点的树右子树是空树。所有有dp[2]*dp[0]颗
最后一种情况就是dp[1]*dp[1]=1，把所有情况都加起来就是dp[3]的值了。

也就是说，如果根节点为k那么左子树是1至k-1共k-1个节点。右侧就是k+1至n，共n-k个节点。那么一共就用dp[k-1]*dp[n-k]棵不同的树了。

那么，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？就是1 … n为根节点的树相加了。

C++代码

int numTrees(int n) {
    vector<int> dp(n + 1, 0);
    dp[0]=1;
    dp[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<i;j++)
            dp[i]+=dp[j]*dp[i-j-1];
    }
    return dp[n];
}