LeetCode Top100之62，64题

• 写于2019年5月28日
  

62. 不同路径

① 题目描述

• 一个机器人位于一个 $m\times n$网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
• 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
• 问总共有多少条不同的路径？
• 例如，下图是一个$7\times 3$的网格。有多少可能的路径？
  
• 说明：m 和 n 的值均不超过 100。
• 示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释: 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

• 示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

② 使用带重复数字的全排列（ Time Limit Exceeded）

• 通过观察发现：在m x n的方格中，从左上角到右下角，无论哪条路径都需要向右走m-1步，向下走n-1步。
• 用0表示向右，1表示向下，问题就成了带重复数字的全排列问题。
• 于是初始化一个(m-1)+(n-1)的数组，用于存储向右和向下的0和1，实现对该数组的全排列，记录排列的种数。
• 可惜！ Time Limit Exceeded。
• 代码如下：

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[] steps = new int[m + n - 2];
    int[] result = {0};
    for (int i = m - 1; i < steps.length; i++) {
        steps[i] = 1;
    }
    backtrace(steps, 0, result);
    return result[0];

}

public void backtrace(int[] nums, int cur, int[] result) {
    if (cur == nums.length) {
        result[0]++;
        return;
    }
    for (int i = cur; i < nums.length; i++) {
        if (isSwap(nums, cur, i)) {
            swap(nums, i, cur);
            backtrace(nums, cur + 1, result);
            swap(nums, i, cur);
        }
    }
}

public void swap(int[] nums, int i, int j) {
    int temp = nums[i];
    nums[i] = nums[j];
    nums[j] = temp;
}

// 能不能交换，就是说交换数字中间不能出现与后面交换的重复数字如：122那个1只能和第一个2交换却不能和第二个2交换
public boolean isSwap(int[] num, int i, int j) {
    for (int index = i; index < j; index++) {
        if (num[index] == num[j])
            return false;
    }
    return true;
}

③ 递归（优化后，没有Time Limit Exceeded）

• 求 ( 0 , 0 )点到（ m - 1 , n - 1） 点的走法。
  ① （0，0）点到（m - 1 , n - 1） 点的走法等于（0，0）点右边的点 （1，0）到（m - 1 , n - 1）的走法加上（0，0）点下边的点（0，1）到（m - 1 , n - 1）的走法。
  ② 左边的点（1，0）点到（m - 1 , n - 1）点的走法等于（2，0）点到（m - 1 , n - 1）的走法加上（1，1）点到（m - 1 , n - 1）的走法。
  ③ 下边的点（0，1）点到（m - 1 , n - 1）点的走法等于（1，1）点到（m - 1 , n - 1）的走法加上（0，2）点到（m - 1 , n - 1）的走法。
  ④ 然后一直递归下去，直到 （m - 1 , n - 1） 点到（m - 1 , n - 1），返回 1。
• 注意： 递归时，由于m和n不一定相等 ，所以需要判断递归时，right和down是否越界，如果越界则不能继续前进，设置其为0。
• 可惜！ 竟然Time Limit Exceeded，比我自己想的方法还死得早。。。。于是需进行优化，优化后竟然只需要3ms，神奇！！
• 代码如下：

public int uniquePaths(int m, int n) {
    HashMap<String, Integer> visited = new HashMap<>();
    return stepSum(0, 0, m, n, visited);
}

public int stepSum(int right, int down, int m, int n, HashMap<String, Integer> visited) {
    if (right == m - 1 && down == n - 1) {
        return 1;
    }
    int right_sum = 0;
    int down_sum = 0;
    // 判断当前点是否已经求过了
    String key = (right + 1) + ", " + down;
    if (!visited.containsKey(key)) {
        if (right + 1 < m) {
            right_sum = stepSum(right + 1, down, m, n, visited);
        }
    } else {
        right_sum = visited.get(key);
    }
    key = right + ", " + (down + 1);
    if (!visited.containsKey(key)) {
        if (down + 1 < n) {
            down_sum = stepSum(right, down + 1, m, n, visited);
        }
    } else {
        down_sum = visited.get(key);
    }
    // 将当前点加入 visited 中
    visited.put(right + ", " + down, right_sum + down_sum);
    return right_sum + down_sum;
}

④ 动态规划

• 第一行的格子、第一列的格子，只能通过向右、向下到达，设置为dp[i][0]=1和dp[0][i]=1;
• 其他位置的格子：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
• 代码如下：

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[][] dp=new int[m][n];
    for(int i=0;i<m;i++){
        dp[i][0]=1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        dp[0][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<m;i++){
        for(int j=1;j<n;j++){
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}

64. 最小路径和

① 题目描述

• 给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
• 说明：每次只能向下或者向右移动一步。
• 示例:

输入:
[
    [1,3,1],
    [1,5,1],
    [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1的总和最小。

② 动态规划

• 用dp[i][j]表示从（0，0）到（i，j）的最小路径总和，则有：
  ① 如果j - 1 >= 0，表示可以从（i，j）的左边（i，j - 1）向右到达（i，j）；否则，设置dp[i][j - 1] = -1。注意： 不要设置为0，因为grid中的数字可能为0。
  ② 如果i - 1 >= 0，表示可以从（i，j）的上边（i -1 ，j ）向下到达（i，j）；否则，设置dp[i - 1][j] = -1。
  ③ 如果既能通过向下和向右到达（i，j），则取dp[i][j - 1]和dp[i - 1][j]的最小值。

public int minPathSum(int[][] grid) {
    int m = grid.length;
    int n = grid[0].length;
    int[][] dp = new int[m][n];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i == 0 && j == 0) {
                dp[0][0] = grid[0][0];
                continue;
            }
            int right = (j - 1 >= 0) ? dp[i][j - 1] : -1;
            int down = (i - 1 >= 0) ? dp[i - 1][j] : -1;
            if (right == -1) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
            } else if (down == -1) {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
}

③ 递归

• 62题中求路径种数时，返回的是从（right，down）到（m - 1，n - 1 ）的路径总数。我们这里要求的是最小路径和，因此应该返回从（right，down）到（m - 1，n - 1 ）的最小路径和。
• 注意更新（right，down）的最小路径和时，要加上自身的grid[right][down]。

public int minPathSum(int[][] grid) {
    HashMap<String, Integer> visited = new HashMap<>();
    return minSum(0, 0, grid.length, grid[0].length, grid, visited);
}

public int minSum(int right, int down, int m, int n, int[][] grid, HashMap<String, Integer> visited) {
    if (right == m - 1 && down == n - 1) {
        return grid[m - 1][n - 1];
    }
    int right_sum = Integer.MAX_VALUE;
    int down_sum = Integer.MAX_VALUE;
    String key = (right + 1) + ", " + down;
    if (!visited.containsKey(key)) {
        if (right+1<m){
            right_sum = minSum(right + 1, down, m, n, grid, visited);
        }
    } else {
        right_sum = visited.get(key);
    }
    key = right + ", " + (down + 1);
    if (!visited.containsKey(key)) {
        if (down+1<n){
            down_sum = minSum(right, down + 1, m, n, grid, visited);
        }
    } else {
        down_sum = visited.get(key);
    }
    key = right + ", " + down;
    visited.put(key, Math.min(right_sum, down_sum) + grid[right][down]);
    return Math.min(right_sum, down_sum) + grid[right][down];
}