动态规划之换硬币

换硬币 · Coin Change

描述

给出不同面额的硬币以及一个总金额. 写一个方法来计算给出的总金额可以换取的最少的硬币数量. 如果已有硬币的任意组合均无法与总金额面额相等, 那么返回 -1.

你可以假设每种硬币均有无数个
总金额不会超过10000
硬币的种类数不会超过500, 每种硬币的面额不会超过100

样例
样例1

输入：
[1, 2, 5]
11
输出： 3
解释： 11 = 5 + 5 + 1

样例2

输入： 
[2]
3
输出： -1

样例3

输入： 
[1, 9]
0
输出： 0

题解

解题方法

动态规划是一种解决数学问题的思维，其出发点是借助于前面计算的结果，从而避免重复计算，进而减少计算量，优化计算模型。
该题是一个最值型动态规划类问题，其解题步骤可分如下四步：

• 1，确定状态
  • 最后一步（对于该题，最有策略则是要确认最后一枚硬币Ak）
  • 化为子问题(用最少的硬币拼接出最小的面值amount - Ak)
• 2，转移方程
  • f[x] = min(f[x - coins[j]] + 1, f[x])
• 3，初始条件和边界情况
  • f[0] = 0, 若可以拼接出x，则f[x]依赖转移方程计算出有效值，否则f[x] = INT_MAX （无穷大）
• 4，计算顺序
  • 动态规划就是要有效利用前面的计算结果去简化运算，所以运算顺序为从前往后计算。

其代码实现如下所示：

C++实现

class Solution {
public:
    /**
     * @param coins: a list of integer
     * @param amount: a total amount of money amount
     * @return: the fewest number of coins that you need to make up
     */
    int coinChange(vector<int> &coins, int amount) {
        // write your code here
        vector<int> dp(amount + 1);
        dp[0] = 0;

        for (int i = 1; i < amount + 1; i++) {
            dp[i] = INT_MAX;
            for (int j = 0; j < coins.size(); j++) {
                if (i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] != INT_MAX) {
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
                }
            }
        }

        return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount];
    }
};