hdu 1452 Happy 2004

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本文详细阐述了HDU 1452题目的解题思路及算法实现过程。通过数论中的积性函数性质，将复杂问题简化为对素数幂次的因子和计算，并利用乘法逆元解决模运算中的除法问题。具体步骤包括因子和的计算、模运算下乘法逆元的寻找，最终得到答案。代码实现清晰，适合初学者理解和学习。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1452

题意：

输入一个数X，求2004^X的所有因子对29取余。。

思路：

首先我们来看：

因子和

6的因子是1,2,3,6;6的因子和是 s(6)=1+2+3+6=12;

20的因子是1,2,4,5,10,20;20的因子和是 s(20)=1+2+4+5+10+20=42;

2的因子是1,2;2的因子和是 s(2)=1+2=3;

3的因子是1,3;3的因子和是 s(3)=1+3=4;

4的因子和是 s(4)=1+2+4=7;

5的因子和是 s(5)=1+5=6;

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);

如果p是素数

s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1)

了解了这一点我们就有s(2004)=s(2^2)*s(3)*s(167)

那么 s(2004^x)=s(2^(2x))*s(3^x)*s(167^x)，因为2，3,167都是素数则有

t1=(2^(2x+1)-1)%29

t2=((3^(x+1)-1)/2)%29

t3=((167^(x+1)-1)/166)%29

根据乘法逆元，t2=((3^(x+1)-1)*15)%29 t3=((167^(x+1)-1)*18)%29

PS：乘法逆元就是a*b对于某个数取余和1对这个数取余是相同的

ans=t1*t2*t3%29

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int pow_mod(int a,int b,int c)
{
    if(b==0)
        return 1;
    int x=pow_mod(a,b/2,c);
    int ans=x*x%c;
    if(b&1)
        ans=ans*a%c;
    return ans;
}
int main()
{
    int x;
    while(scanf("%d",&x),x)
    {
        int t1=pow_mod(2,2*x+1,29);
        int t2=pow_mod(3,x+1,29);
        int t3=pow_mod(167,x+1,29);
        //printf("%d %d %d\n",t1,t2,t3);
        int ans=(t1-1)*(t2-1)*15*(t3-1)*18%29;
        printf("%d\n",ans%29);
    }
    return 0;
}

代码：