hdu 1452(因子和+积性函数)

最新推荐文章于 2021-07-08 19:01:28 发布

hexianhao

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分类专栏：数学文章标签：数学

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本文介绍了一种计算2004的X次方的所有正因数之和并对29取模的方法。利用积性函数性质，将问题分解为对质因数2、3和167的幂次进行单独处理。通过快速幂运算求解，确保计算效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Happy 2004

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Problem Description

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.

Input

The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).

A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.

Output

For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.

Sample Input

Sample Output

  
   6
10
  
  

  
  
   gcd(a,b)==1 && s(a,b)==s(a)*s(b)满足这种条件的s叫做积性函数，本题求的因子和就是一个积性函数
   接着有一个结论
   if(prime[p])s(p^n)=1+p^1+p^2+p^n=(p^(n+1)-1)/(p-1)
   s(2004^n)=s(2^(2n))*s(3^n)*s(167^n)
   其中，167和22关于29同余
   所以，s(2004^n)=s(2^(2n))*s(3^n)*s(22^n)
   a=s(2^(2n))=(2^(2n+1)-1)
   b=s(3^n)=(3^(n+1)-1)/2
   c=s(22^n)=(22^(n+1)-1)/21
   数太大，每步求余，除法求余的规则是，除以一个数求余的结果和乘以除数的乘法逆元的求余结果相同
   求出2和21的乘法逆元这道题就做完了
  
  
   参考博客：
   http://www.cnblogs.com/xiaohongmao/p/3536029.html
  
  

  
  
   #include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int qpow(int a,int b)
{
    int ans=1,buff=a ;
    while(b)
    {
        if(b & 1) ans = ans * buff % 29;
        buff = buff * buff % 29;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int x;
    while(~scanf("%d",&x),x)
    {
        int a=(qpow(2,2*x+1)-1)%29;
        int b=(qpow(3,x+1)-1)*(-14)%29;
        int c=(qpow(167,x+1)-1)*(-11)%29;
        printf("%d\n",a*b*c%29);
    }
    return 0 ;
}