孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数）

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

分析：这是个典型的约瑟夫环的问题，约瑟夫环问题有很多经典解法，最经典的就是环形链表，或者是用数组，vector等模拟出来的链表。但是这种解法复杂度太高了，有o(mn)，所以我们就想能不能有个简单的办法，我们用数学推导一下，推导的过程是从剑指offer上摘抄的，首先我们定义一个关于m 和n的方程f(n,m)，表示n个数字0,1,2，….n-1中每次删除第m个数字最后剩下的数字。在这n和数字中，第一个被删除的数字(m-1)%n，把(m-1)%n记为k，那么在删除k之后的序列为0,1,2，…k-1,k+1,…n-1。该序列剩下的数字也应该是关于n和m的函数，由于这个数列在进入下一次循环删除第m个的时候从第k+1个数开始，这个序列为k+1，，，n-1,0,1,…k-1，跟一开始的序列不同，因此该函数也不同于前面的函数f(n,m)，记为f*(n-1,m)，由于最初数列最后剩下的数字一定跟删除一个数字之后的数列最后剩下的数字相同，所以f(n,m)=f*(n-1,m)。接下来我们把从k+1开始的这个数列做一个映射，重新映射为从0开始的序列，如下：

K+1 → 0；

K+2 → 1;

…

n-1 →  n-1-(k+1)=n-k-2;
0   →  n-k-2+1=n-k-1;
1   →  n-k;
…
 
k-1 → n-k-1+（k-1）=n-2;
映射p(x)=p(x-k-1)%n;表示映射前的数字是x,映射后的数字是x-k-1。逆映射为P*(x)=(x+k+1)%n.由于映射之后的序列和最初的序列是一致的，所以函数应该具有相同的形式，即为f(n-1,m)，所以我们可以得到f*(n-1,m)=P*( f(n-1,m))=( f(n-1,m)+k+1)%n。又因为k=(m-1)%n=(m-1)，所以代入前面的式子可以得到：f*(n-1,m)=(f(n-1,m)+m)%n，我们上面知道f(n,m)=f*(n-1,m)，所以可以得到一个递推式f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n，如果n=1，f(n,m)=0。初始条件和递归公式都有了，下面我们用递归或者循环都很容易实现，我用的是循环，不懂的话可以看着递归倒着推一遍，是一样的。

代码：

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1||m<1)
            return -1;
        int s=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            s=(s+m)%i;
        return s;
    }
};