[cv]Fourier-transform

Basis Sets

basis-set

生成向量空间V的最小基向量集合。

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image can be regarded as an 1D vector.

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sin signal

Asin(wx+ψ)
三个自由度, A,w, ψ .

time and frequency

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fourier transform

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实际上,频率不同的sin函数是正交的。

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只有相位为 π/2 时,结果才为0.

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Inverse Fourier Transformation

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limitation of Fourier Transformation

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DFT discrete Fourier Transformation

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linearity of sum

o

reconstruct

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自然图像在频域是十分相似的,如lena和猴子。

### Fourier-Mellin 变换的概念及其在图像处理中的应用 Fourier-Mellin 变换是一种结合了傅里叶变换和 Mellin 变换的方法,主要用于解决图像旋转、缩放和平移不变性的问题。它通过将图像从空间域转换到极坐标表示下的频率域来实现这些特性[^1]。 #### 基本原理 Fourier-Mellin 变换的核心在于其能够分离出图像的尺度变化和旋转角度信息。具体来说,该方法首先对输入图像进行傅里叶变换以提取频谱特征,随后将其映射至极坐标系下并再次进行傅里叶变换。这一过程使得最终得到的结果具有旋转和尺度不变性[^2]。 #### 实现步骤概述 以下是基于 Python 的一种典型实现思路: 1. **计算原始图像的 DFT (Discrete Fourier Transform)** 使用 OpenCV 或 NumPy 库可以方便地完成此步操作。例如,在 Python 中可以通过 `cv2.dft` 函数获取离散傅里叶变换结果,并对其进行中心化以便于后续分析[^3]。 ```python import cv2 import numpy as np img = cv2.imread('image.jpg', 0) # 加载灰度图片 dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft) # 将零频率分量移动到中心位置 ``` 2. **构建极坐标形式** 对经过上述处理后的数据创建对应的极坐标版本。这一步骤涉及重新采样技术以及可能的角度插值算法。 3. **执行第二次 FFT 并解析输出** 完成以上准备工作之后即可实施第二轮快速傅立葉變換(Fast Fourier Transform),从而获得最终可用于匹配的目标描述子向量。 4. **逆运算恢复原状或者直接用于对比检测** --- ### 示例代码片段展示如何初步运用FFT与DFT功能 下面提供了一个简单的例子说明怎样利用标准库函数来进行基本的一维/二维数组上的快速傅立葉轉換: ```python import matplotlib.pyplot as plt from scipy.fftpack import fft, ifft # 创建测试信号 t = np.linspace(0, 1, 500, endpoint=False) sig = np.sin(2 * np.pi * 70 * t) # 执行正向fft Y = fft(sig) plt.figure() plt.plot(t[:len(Y)//2], abs(Y)[:len(Y)//2]*2 / float(len(Y))) plt.title('Magnitude Spectrum') plt.show() # 验证反向ifft能否还原初始波形 reconstructed_signal = ifft(Y).real assert np.allclose(reconstructed_signal, sig), "Reconstruction failed!" ``` 注意这里仅展示了基础概念验证部分而非完整的FM变换流程。 ---
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