欧拉函数&&欧拉定理

最新推荐文章于 2023-06-04 16:44:42 发布

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分类专栏：数学

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本文介绍了数论中欧拉函数的概念及其两种计算方法：一种是递推法，另一种是利用定理简化计算过程。递推法适用于直接计算特定数值的欧拉函数，而利用定理的方法则更适用于批量计算较小范围内的欧拉函数值。

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在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。

n的欧拉函数值记为： F(n)

那么，我们是怎样求欧拉函数的值呢？

方法是这样的：

其实求欧拉函数值还有一种方法：即利用递推法求欧拉函数值

算法原理：开始令i的欧拉函数值等于它本身，如果i为偶数，可以利用定理：

当n为奇数的时候 F[2*N]=F[N];

变为求奇数的。

若p是一个正整数满足，那么p是素数，在遍历过程中如果遇到欧拉函数值等于自身的情况，那么说明该数为素数。把这个数的欧拉函数值改变，同时也把能被该素因子整除的数改变。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int  phi(int n)//递推写法
{
    int rea=n,i;
    for(i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
           rea=rea-rea/i;
           while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        rea=rea-rea/n;
    return rea;
}
const int N = 100001;
int p[N];
void phi(int n)//利用定理写法p(2*n)=p(n)
{
    for(int i=1;i<N;i++) p[i]=i;
    for(int i=2;i<N;i+=2) p[i]>>=1;
    for(int i=3;i<N;i+=2){
        if(p[i]==i){
            for( int j=i;j<N;j+=i)
                p[j]=p[j]-p[j]/i;
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n){
        cout<<phi(n)<<endl;
    }
    return 0;
}

最后，我们来介绍一下欧拉定理：