hdu4990 矩阵快速幂

题意:
      给你一短代码,让你优化这个代码,代码如下
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include<iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include<vector>


const int MAX=100000*2;
const int INF=1e9;


int main()
{
  int n,m,ans,i;
  while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
  {
    ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
      if(i&1)ans=(ans*2+1)%m;
      else ans=ans*2%m;
    }
    printf("%d\n",ans);
  }
  return 0;
},给出n,m让你输出ans   <1<=n, m <= 1000000000>.


思路:
      直接跑肯定TLE,这个题目我们可以推公式,如果推不出来可以直接打出来一些,然


后自己找公式,一般公式不会很复杂(复杂的自己一般不会呵呵)。
现在我们要求ai:
如果i是奇数 
a[i] = a[i-1] * 2 + 1 = (a[i-2] * 2 + a[i-1]) + 1 = a[i-2]*2+a[i-1]+1
如果i是偶数
a[i] = a[i-1] * 2     = (a[i-2] * 2 + 1) + a[i-1] = a[i-2]*2+a[i-1]+1
两个公式一样,那么可以作为通式,然后就构造矩阵,之后跑快速幂就行了,矩阵也很好构


造,我构造下:


a1 a2 1       0  2  0      a2 a3 1 
          *   1  1  0

              0  1  1


#include<stdio.h>
#include<string.h>

__int64 M;

typedef struct
{
   __int64 mat[5][5];
}A;

A mat_mat(A a ,A b)
{
   A c;
   memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
   for(int k = 1 ;k <= 3 ;k ++)
   for(int i = 1 ;i <= 3 ;i ++)
   {
      if(a.mat[i][k]) 
      for(int j = 1 ;j <= 3 ;j ++)
      c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j])%M;
   }
   return c;
}

A quick_mat(A a ,int b)
{
    A c;
    memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
    c.mat[1][1] = c.mat[2][2] = c.mat[3][3] = 1;
    while(b)
    {
       if(b&1) c = mat_mat(c ,a);
       a = mat_mat(a ,a);
       b >>= 1;
    }
    return c;
}

int main ()
{
    A a;
    int n ,i;
    while(~scanf("%d %d" ,&n ,&M))
    {
       a.mat[1][1] = a.mat[1][3] = a.mat[2][3] = a.mat[3][1] = 0;
      a.mat[2][1] = a.mat[2][2] = a.mat[3][2] = a.mat[3][3] = 1;
      a.mat[1][2] = 2;
       if(n == 1)
       {
          printf("%d\n" ,1 % M);
          continue;
       }
       a = quick_mat(a ,n-1);
       __int64 Ans = 1 * a.mat[1][1] + 2 * a.mat[2][1] + 1 * a.mat[3][1];
       printf("%I64d\n" ,Ans % M);
    }
    return 0;
}

### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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