地宫取宝

 X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。  
    地宫的入口在左上角,出口在右下角。  
    小明被带到地宫的入口,国王要求他只能向右或向下行走。  
    走过某个格子时,如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大,小明就可以拿起它(当然,也可以不拿)。  
    当小明走到出口时,如果他手中的宝贝恰好是k件,则这些宝贝就可以送给小明。  
    请你帮小明算一算,在给定的局面下,他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。  
【数据格式】  
    输入一行3个整数,用空格分开:n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)  
    接下来有 n 行数据,每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值  
    要求输出一个整数,表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大,输出它对 1000000007 取模的结果。  
例如,输入: 2 2 2 1 2 2 1 

程序应该输出: 2

再例如,输入: 2 3 2 1 2 3 2 1 5 
程序应该输出: 14   
资源约定: 
峰值内存消耗 < 256M CPU消耗  < 1000ms   
请严格按要求输出,不要画蛇添足地打印类似:“请您输入...” 的多余内容。  
所有代码放在同一个源文件中,调试通过后,拷贝提交该源码。  
注意: main函数需要返回0 
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准,不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。 注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>, 不能通过工程设置而省略常用头文件。  
提交时,注意选择所期望的编译器类型。


#include <cstdio>

#include <cmath>

 #include <algorithm>

 #include <cstring> 

using namespace std; 

int map[55][55]; 

int n, m, k, sum = 0; 
int DFS(int x, int y, int big, int nowHave) 

{  if(nowHave > k)   
return 0; 
 if(x == n && y == m) 

 {   if(nowHave == k || nowHave == k - 1 && map[n][m] > big)    
sum++; 
 
 
sum %= 1000000007; 


 if(x + 1 <= n)  

{   if(map[x][y] > big)    
DFS(x + 1, y, map[x][y], nowHave + 1); 
  DFS(x + 1, y, big, nowHave); 
 } 
 if(y + 1 <= m)  

{   if(map[x][y] > big)    
DFS(x, y + 1, map[x][y], nowHave + 1);  

 DFS(x, y + 1, big, nowHave); 
 } 

int main() 

{  scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);  

for(int i = 1; i <= n; i++)  

 for(int j = 1; j <= m; j++)   
 
scanf("%d", &map[i][j]); 
 DFS(1, 1, 0, 0);  
printf("%d", sum); 

return 0; 
}

### C++ 地宫问题的动态规划与深度优先搜索实现 #### 背景介绍 地宫问题是典型的组合优化问题之一,通常可以通过动态规划 (Dynamic Programming, DP) 或者深度优先搜索 (Depth First Search, DFS) 来解决。这类问题的核心在于如何在有限步数内最大化收益或者找到最优解。 --- #### 动态规划方法解析 动态规划是一种通过分解子问题并存储中间结果来减少重复计算的方法。对于地宫问题,可以定义状态 `dp[i][j]` 表示到达第 `(i,j)` 位置时的最大价值[^1]。 以下是基于动态规划的地宫问题的伪代码逻辑: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dp[105][105]; // 定义最大地图大小为100*100 int grid[105][105]; int n, m; // 地图行列数 void initialize() { for(int i=0;i<=n;i++) { for(int j=0;j<=m;j++) { dp[i][j] = -INF; // 初始化为负无穷大 } } } // 主函数入口 int main(){ cin >> n >> m; // 输入地图尺寸 for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ cin >> grid[i][j]; // 输入每个格子的价值 } } initialize(); dp[1][1] = grid[1][1]; // 初始起点价值 for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ if(i>1){ dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j]+grid[i][j]); // 上方转移 } if(j>1){ dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-1]+grid[i][j]); // 左侧转移 } } } cout << dp[n][m] << endl; // 输出终点处的最大价值 } ``` 上述代码实现了二维网格上的动态规划求解过程,其中 `dp[i][j]` 的更新依赖于上方和左侧的状态转移[^2]。 --- #### 深度优先搜索方法解析 深度优先搜索适用于探索所有可能路径的情况,并记录每条路径中的最大值。为了防止超时,在实际应用中可加入剪枝策略以提升效率。 下面是基于深度优先搜索的地宫问题的实现代码: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int grid[105][105]; bool visited[105][105]; int maxValue = 0; int pathValue = 0; int dx[] = {0, 1}; // 右下方向移动 int dy[] = {1, 0}; int n, m; void dfs(int x, int y){ if(x == n && y == m){ // 达到右下角目标点 maxValue = max(maxValue, pathValue); return ; } for(int k=0;k<2;k++){ // 遍历两个方向 int nx = x + dx[k]; int ny = y + dy[k]; if(nx >=1 && nx <=n && ny>=1 && ny<=m && !visited[nx][ny]){ visited[nx][ny] = true; pathValue += grid[nx][ny]; dfs(nx, ny); // 继续深搜 pathValue -= grid[nx][ny]; // 回溯恢复原状 visited[nx][ny] = false; } } } int main(){ cin >> n >> m; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) cin >> grid[i][j]; memset(visited, false, sizeof(visited)); visited[1][1] = true; pathValue = grid[1][1]; dfs(1, 1); cout << maxValue << endl; } ``` 此代码利用递归的方式遍历所有可行路径,并通过回溯机制确保每次尝试后能够正确还原现场。 --- #### 总结对比 两种方法各有优劣: - **动态规划**适合处理具有重叠子问题性质的任务,时间复杂度较低但空间需求较高; - **深度优先搜索**则更灵活,尤其当存在额外约束条件时表现更好,不过容易因指数级增长而导致性能瓶颈。 因此,在具体应用场景中需根据实际情况选择合适的技术手段。 ---
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