浅谈BST (Binary Search Tree)

本文详细介绍了二叉搜索树(BST)的基础概念,包括顺序性、单调性和操作方法(查找、插入和删除)。通过实例演示了如何通过递归定义和算法实现这些操作。

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Part I.Introduction

        温馨提示:本文是BBST的基础,请在学习BBST之前阅读。

        BST是一棵二叉树。

        从微观上来讲,BST的每个节点都大于其左节点,且小于其右节点。

        从宏观上来将,BST的每个节点都大于其左子树的每个节点,且小于其右子树的每个节点。

        以上性质称为BST的顺序性。

        通过一些例子和分析我们不难发现,一棵BST的中序遍历是有序的。这个性质我们称为BST的单调性。

        如图即为一棵BST。


        由于这是一棵二叉树,我们可以通过递归定义法来定义这棵树。

struct node{
	int key,val,l,r;
}tree[maxn];

Part II.Find

        由BST的顺序性,每走到一个节点,我们只需将目标值与当前节点的key值比较后决定往左/右走,直至走到目标值所在的节点。

int find(int rt,int y){
	if (!rt) return -1;
	if (y==tree[rt].key) return rt;
	if (y<tree[rt].key) return find(tree[rt].l,y);
	if (y>tree[rt].key) return find(tree[rt].r,y);
}

Part III.Insert

        与Find操作类似,每走到一个节点,如果目标值与当前节点的Key值相同,那么将Val++后return即可;否则往左右的其中之一走。如果走到空节点,则新建节点。

void insert(int &rt,int y){
	if (!rt){
		rt=++tot;
		tree[rt].key=y;
		tree[rt].val=1;
		tree[rt].l=tree[rt].r=0;
		return;
	}
	if (y==tree[rt].key){
		tree[rt].val++;
		return;
	}
	if (y<tree[rt].key){
		insert(tree[rt].l,y);
		return;
	}
	if (y>tree[rt].key){
		insert(tree[rt].r,y);
		return;
	}
}

Part IV.Delete

        温馨提示:由于今后普通BST基本都会用BBST代替,所以Delete操作可用今后BBST的Delete操作代替。此章请选择性阅读。

        Delete操作是BST的难点之一。

        我们分3种情况讨论(设该节点为P):

                Case 1.若P为叶节点,删除该点不会破坏整棵树的形态,那么直接删除即可。

                Case 2.若P只有左儿子或只有右儿子,那么直接将其左/右儿子提上来即可,这时也不会破坏整棵树的形态。

                Case 3.若P的左右儿子均非空。在此介绍一种方法:将P节点右子树的最小节点与P节点交换。由于交换后的P不会有左儿子,那么就回到了Case 1或Case 2,将其删除即可。

void del(int y){
	int u=find(root,y);
	if (!u) return;
	if (tree[u].val>1){tree[u].val--;return;}
	if (!tree[u].l || !tree[u].r){if (!tree[u].l) u=tree[u].r;else u=tree[u].l;return;}
	int v=minode(tree[u].r);
	swap(tree[u],tree[v]);
	if (!tree[v].l) v=tree[v].r;else v=tree[v].l;
}

Part V.Code

/*
 * Algorithm:BST
 * Author:PYC
 */

#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define maxn 1000000

using namespace std;

int m,root,tot;

struct node{int key,val,l,r;}tree[maxn];

int count(int &root,int y){
	if (!root) return 0;
	if (y==tree[root].key) return tree[root].val;
	if (y<tree[root].key) return count(tree[root].l,y);
	if (y>tree[root].key) return count(tree[root].r,y);
}

int find(int &root,int y){
	if (!root) return 0;
	if (y==tree[root].key) return root;
	if (y<tree[root].key) return find(tree[root].l,y);
	if (y>tree[root].key) return find(tree[root].r,y);
}

void insert(int &root,int y){
	if (!root){tree[root=++tot].key=y;tree[root].val=1;return;}
	if (y==tree[root].key){tree[root].val++;return;}
	if (y<tree[root].key) insert(tree[root].l,y);
	if (y>tree[root].key) insert(tree[root].r,y);
}

int minode(int &root){if (!tree[root].l) return root;else minode(tree[root].l);}

void del(int y){
	int u=find(root,y);
	if (!u) return;
	if (tree[u].val>1){tree[u].val--;return;}
	if (!tree[u].l || !tree[u].r){if (!tree[u].l) u=tree[u].r;else u=tree[u].l;return;}
	int v=minode(tree[u].r);
	swap(tree[u],tree[v]);
	if (!tree[v].l) v=tree[v].r;else v=tree[v].l;
}

int main(){
	scanf("%d",&m);
	for (int i=1;i<=m;++i){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if (x==1) printf("%d\n",count(root,y));
		if (x==2) insert(root,y);
		if (x==3) del(y);
	}
	return 0;
}

Part VI.Thank You!

        Thank you for reading!

By Charlie Pan

Mar 4,2014

<think>嗯,用户想了解关于完整二叉搜索树的概念和实现方法。首先,我需要明确什么是完整二叉搜索树(Complete Binary Search Tree,CBST)。根据之前学过的知识,二叉树中的完全二叉树(Complete Binary Tree)是指除了最后一层外,其他层都是满的,并且最后一层的节点都尽可能靠左排列。而二叉搜索树Binary Search TreeBST)的特点是每个节点的左子树所有节点的值都小于该节点的值,右子树则都大于。所以完整二叉搜索树应该是结合了这两种特性的数据结构,即同时满足完全二叉树的结构和二叉搜索树的排序性质。 接下来,我需要确认完整二叉搜索树的具体定义和特点。完全二叉树的特性使得它可以用数组高效地存储,而不需要指针,这对于内存管理是有优势的。而二叉搜索树的特性则保证了高效的查找、插入和删除操作,平均时间复杂度为O(log n)。结合起来,CBST可能在保持高效操作的同时,优化存储结构。不过,用户可能想知道如何实现这样的数据结构,或者它的具体应用场景。 然后,实现方法方面,可能需要考虑如何构建这样的树。由于是完全二叉树,节点的位置可以通过数组的索引来确定,比如对于节点i,左子节点在2i+1,右子节点在2i+2。同时,作为二叉搜索树,必须满足左子树的值小于根节点,右子树的值大于根节点。因此,构建CBST可能需要将给定的有序数组按照完全二叉树的结构进行排列。例如,对于有序数组,中序遍历完全二叉树的结构应该能得到有序序列,因此可能需要找到中间节点作为根,递归构建左子树和右子树。 另外,用户可能关心插入和删除操作在CBST中的处理。因为完全二叉树的结构要求最后一层尽可能左对齐,插入和删除可能需要调整树的结构以维持完全性,这可能会影响二叉搜索树的性质。这时候可能需要特定的算法来保持两者的平衡,或者在某些情况下,CBST可能更适合静态数据,而不是频繁变动的数据,因为维护结构可能代价较高。 还需要考虑CBST与其他类型二叉搜索树的区别,比如平衡二叉搜索树(如AVL树、红黑树)。CBST可能在存储上更紧凑,但可能在动态操作上不如平衡树高效。因此,用户可能想知道在什么情况下选择CBST更合适,比如数据静态且需要快速查找的情况下。 此外,用户的问题中提到了“实现方法”,可能需要给出具体的代码示例,比如如何从有序数组构建CBST,或者如何插入节点。例如,可以通过递归方法,每次选择中间元素作为根节点,然后递归构建左右子树,确保完全二叉树的结构。这部分需要结合算法步骤和代码实现来说明。 最后,需要验证自己的理解是否正确,是否有遗漏或错误的地方。例如,是否混淆了完全二叉树和满二叉树的概念,或者是否正确处理了二叉搜索树的排序性质与完全二叉树结构之间的冲突。比如,在构建过程中,如何确保节点位置既满足完全性,又满足左小右大的顺序,可能需要特定的构建策略,如中序遍历填充。</think>### 完整二叉搜索树(Complete Binary Search Tree)概念解析 完整二叉搜索树是**完全二叉树**和**二叉搜索树**的结合体,需同时满足以下特性: 1. **完全二叉树结构**:所有层除最后一层外均为满层,最后一层节点左对齐排列[^1] 2. **二叉搜索树性质**:任意节点的左子树值均小于该节点,右子树值均大于该节点 $$ \text{设节点索引为}i,\ \text{左子节点索引}=2i+1,\ \text{右子节点索引}=2i+2 $$ ### 核心实现步骤(以数组存储为例) 1. **数据预处理**:将输入数据排序为升序序列 2. **递归构建**: ```python def build_cbst(sorted_arr, tree, root_index=0): if not sorted_arr: return n = len(sorted_arr) mid = n // 2 # 计算中间索引 tree[root_index] = sorted_arr[mid] # 递归构建左子树(左半部分) build_cbst(sorted_arr[:mid], tree, 2*root_index+1) # 递归构建右子树(右半部分) build_cbst(sorted_arr[mid+1:], tree, 2*root_index+2) ``` 3. **空间分配**:根据完全二叉树特性预分配数组空间 $$ \text{数组长度}=2^h-1\ \text{(h为树的高度)} $$ ### 关键特性对比 | 特性 | 普通BST | 完整BST | |---------------------|---------|--------------| | 空间利用率 | 动态 | 100%(数组) | | 查找时间复杂度 | O(h) | O(log n) | | 插入/删除复杂度 | O(h) | O(n) | | 适合场景 | 动态数据| 静态数据 | ### 应用场景 1. 预先生成的静态数据集快速查询(如字典数据) 2. 需要固定存储空间的嵌入式系统 3. 需要快速序列化/反序列化的场景[^3]
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