浅谈BST (Binary Search Tree)

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#二叉搜索树 #BST #数据结构

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本文详细介绍了二叉搜索树（BST）的基础概念，包括顺序性、单调性和操作方法（查找、插入和删除）。通过实例演示了如何通过递归定义和算法实现这些操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Part I.Introduction

温馨提示：本文是BBST的基础，请在学习BBST之前阅读。

BST是一棵二叉树。

从微观上来讲，BST的每个节点都大于其左节点，且小于其右节点。

从宏观上来将，BST的每个节点都大于其左子树的每个节点，且小于其右子树的每个节点。

以上性质称为BST的顺序性。

通过一些例子和分析我们不难发现，一棵BST的中序遍历是有序的。这个性质我们称为BST的单调性。

如图即为一棵BST。

由于这是一棵二叉树，我们可以通过递归定义法来定义这棵树。

struct node{
	int key,val,l,r;
}tree[maxn];

Part II.Find

由BST的顺序性，每走到一个节点，我们只需将目标值与当前节点的key值比较后决定往左/右走，直至走到目标值所在的节点。

int find(int rt,int y){
	if (!rt) return -1;
	if (y==tree[rt].key) return rt;
	if (y<tree[rt].key) return find(tree[rt].l,y);
	if (y>tree[rt].key) return find(tree[rt].r,y);
}

Part III.Insert

与Find操作类似，每走到一个节点，如果目标值与当前节点的Key值相同，那么将Val++后return即可；否则往左右的其中之一走。如果走到空节点，则新建节点。

void insert(int &rt,int y){
	if (!rt){
		rt=++tot;
		tree[rt].key=y;
		tree[rt].val=1;
		tree[rt].l=tree[rt].r=0;
		return;
	}
	if (y==tree[rt].key){
		tree[rt].val++;
		return;
	}
	if (y<tree[rt].key){
		insert(tree[rt].l,y);
		return;
	}
	if (y>tree[rt].key){
		insert(tree[rt].r,y);
		return;
	}
}

Part IV.Delete

温馨提示：由于今后普通BST基本都会用BBST代替，所以Delete操作可用今后BBST的Delete操作代替。此章请选择性阅读。

Delete操作是BST的难点之一。

我们分3种情况讨论（设该节点为P）：

Case 1.若P为叶节点，删除该点不会破坏整棵树的形态，那么直接删除即可。

Case 2.若P只有左儿子或只有右儿子，那么直接将其左/右儿子提上来即可，这时也不会破坏整棵树的形态。

Case 3.若P的左右儿子均非空。在此介绍一种方法：将P节点右子树的最小节点与P节点交换。由于交换后的P不会有左儿子，那么就回到了Case 1或Case 2，将其删除即可。

void del(int y){
	int u=find(root,y);
	if (!u) return;
	if (tree[u].val>1){tree[u].val--;return;}
	if (!tree[u].l || !tree[u].r){if (!tree[u].l) u=tree[u].r;else u=tree[u].l;return;}
	int v=minode(tree[u].r);
	swap(tree[u],tree[v]);
	if (!tree[v].l) v=tree[v].r;else v=tree[v].l;
}

Part V.Code

/*
 * Algorithm:BST
 * Author:PYC
 */

#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define maxn 1000000

using namespace std;

int m,root,tot;

struct node{int key,val,l,r;}tree[maxn];

int count(int &root,int y){
	if (!root) return 0;
	if (y==tree[root].key) return tree[root].val;
	if (y<tree[root].key) return count(tree[root].l,y);
	if (y>tree[root].key) return count(tree[root].r,y);
}

int find(int &root,int y){
	if (!root) return 0;
	if (y==tree[root].key) return root;
	if (y<tree[root].key) return find(tree[root].l,y);
	if (y>tree[root].key) return find(tree[root].r,y);
}

void insert(int &root,int y){
	if (!root){tree[root=++tot].key=y;tree[root].val=1;return;}
	if (y==tree[root].key){tree[root].val++;return;}
	if (y<tree[root].key) insert(tree[root].l,y);
	if (y>tree[root].key) insert(tree[root].r,y);
}

int minode(int &root){if (!tree[root].l) return root;else minode(tree[root].l);}

void del(int y){
	int u=find(root,y);
	if (!u) return;
	if (tree[u].val>1){tree[u].val--;return;}
	if (!tree[u].l || !tree[u].r){if (!tree[u].l) u=tree[u].r;else u=tree[u].l;return;}
	int v=minode(tree[u].r);
	swap(tree[u],tree[v]);
	if (!tree[v].l) v=tree[v].r;else v=tree[v].l;
}

int main(){
	scanf("%d",&m);
	for (int i=1;i<=m;++i){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if (x==1) printf("%d\n",count(root,y));
		if (x==2) insert(root,y);
		if (x==3) del(y);
	}
	return 0;
}

Part VI.Thank You!

Thank you for reading!

By Charlie Pan

Mar 4,2014