欧拉函数之HDU4983 Goffi and GCD

最新推荐文章于 2021-02-04 00:16:09 发布

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分类专栏：数学

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本文深入探讨了数论函数在特定条件下的应用，特别是通过详细解析一个具体数学问题，展示了如何求解在给定约束下的数论函数组合。文章从基本概念出发，逐步引导读者理解并解决类似问题，强调了欧拉函数在求解过程中的关键作用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先gcd（n，x）< n，所以k>2是无解的。

当k=2，只有一组解（ps:gcd(n,0)=n）

只需求k=1的情况：

x=gcd(n-a,n),则n/x=gcd(n-b,n),因为n-a可以取到0...n-1也就是1....n，所以完全可以去掉n-这个限制条件，即gcd(a,n)=x、gcd(b,n)=n/x时个数，因为a<n，所以gcd(a,n)的个数=u[n/x],u是欧拉函数。所以原式等于sigma(u[n/x]*u[x])其中x是n的约数。（注意，n/x==x的情况）

ps：我认为这道题的精髓就在a<n,gcd(a,n)=x的个数=u[n/x]! 这一点理解了，那么hdu2588也就会写了~

#include <stdio.h>
#include <ctype.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <sstream>
using namespace std;

#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

typedef long long LL;
const double pi=4.0*atan(1.0);
const int MAXN=105;
const int INF=1<<30;
const LL M=1000000007;
LL euler(LL n)
{
    LL ans=n;
    for(int i=2;(LL)i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
        if(n>1)
            ans=ans/n*(n-1);
        return ans;
}

int main()
{
    LL n,k;
    while(scanf("%I64d%I64d",&n,&k)!=EOF)
    {
        if(n==1||k==2)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(k>2)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        LL ans=0;
        for(LL i=1;i*i<=n;i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                LL t=n/i;
                if(t==i)
                    ans=(ans+euler(t)%M*euler(i)%M)%M;
                else
                    ans=(ans+euler(t)%M*euler(i)%M*2%M)%M;
            }
        }
        printf("%I64d\n",ans);


    }


    return 0;
}