Paillier加密算法

wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Paillier_cryptosystem

密钥生成

1. 选两个 大素数 p, q 保证 $gcd(pq,(p-1)(q-1))=1$
2. 计算 $n=pq,\lambda =lcm(p-1,q-1)$
3. 定义 $L(x)=\frac{(x-1)}{n}$ 注意: 这里分式指除法
4. 随机选一个 小于 $n^2$ 的正整数 $g$，并且存在 $\mu =(L(g^{\lambda }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2){)}^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
5. 公钥为 $(n,g)$
6. 私钥为 $(\lambda ,\mu )$

快速生成密钥

在密钥长度相同的情况下，可以快速生成密钥
$g=n+1,\lambda =\varphi (n),\mu =\varphi (n)-1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$ , $\varphi (n)$ 指欧拉函数, 这里等于 $(p-1)\ast (q-1)$

加密

1. 明文 m 是 大于等于0 小于n的正整数
2. 随机选择r满足 $0<r<n$ 且 $r\in Z_{n^2}^{\ast }$ (一种充分条件是 r,n 互质)
   注: $r\in Z_{n^2}^{\ast }$ 指 r在$n^2$的剩余系下存在乘法逆元
3. 计算密文 $c=g^m{r}^n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2$

解密

1. 计算明文 $m=L(c^{\lambda }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}^2)\ast \mu \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$