[DeeplearningAI笔记]第二章2.6-2.9Momentum/RMSprop/Adam与学习率衰减

[DeeplearningAI笔记]第二章2.6-2.9Momentum/RMSprop/Adam与学习率衰减

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吴恩达老师课程原地址

2.6 动量梯度下降法(Momentum)

• 另一种成本函数优化算法,优化速度一般快于标准的梯度下降算法.

• 基本思想:计算梯度的指数加权平均数并利用该梯度更新你的权重

• 假设图中是你的成本函数,函数形象如图所示.其中红点所示就是你的最低点.使用常规的梯度下降方法会有摆动，这种波动减缓了你训练模型的速度,不利于使用较大的学习率,如果学习率使用过大则可能会偏离函数的范围.为了避免摆动过大,你需要选择较小的学习率.

• 而是用Momentum梯度下降法,我们可以在纵向减小摆动的幅度在横向上加快训练的步长.

基本公式

$$V{d}_w=\beta V{d}_w+(1-\beta )d_w$$
$$V{d}_b=\beta V{d}_b+(1-\beta )d_b$$

• 在纵轴方向上,你希望放慢一点,平均过程中,正负数相互抵消,平均值接近于零.
• 横轴方向所有的微分都指向于横轴方向,所以横轴的平均值仍较大.
• 横轴方向运动更快,纵轴方向摆动幅度变小.
• 两个超参数 $\alpha 控制学习率,\beta 控制指数加权平均数,\beta 最常用的值是0.9$
• 此处的指数加权平均算法不一定要使用带修正偏差,因为经过10次迭代的平均值已经超过了算法的初始阶段,所以不会受算法初始阶段的影响.

2.7 RMSprop(均方根)

• RMSprop (root mean square prop),也可以加速梯度下降.

• 对于梯度下降,横轴方向正在前进,但是纵轴会有大幅度的波动.我们现将横轴代表参数W,纵轴代表参数b.横轴也可以代表$W_{[1]},W_{[2]},W_{[3]}...W_{[n]}$,但是为了便于理解,我们将其称之为b和W.

• 公式
  $$S_{dw}=\beta S_{dw}+(1-\beta )(dw{)}^2$$
  $$S_{db}=\beta S_{db}+(1-\beta )(db{)}^2$$
  $$接着RMSprop会这样更新参数值$$
  $$W=W-\alpha \frac{dw}{\sqrt{S_{dw}}}$$
  $$b=b-\alpha \frac{db}{\sqrt{S_{db}}}$$

• w的在横轴上变化变化率很小,所以dw的值十分小,所以$S_{dw}$也小,而b在纵轴上波动很大,所以斜率在b方向上特别大.所以这些微分中,db较大,dw较小.这样W除数是一个较小的数,总体来说,W的变化很大.而b的除数是一个较大的数,这样b的更新就会被减缓.纵向的变化相对平缓.

• 注意:这里的W和b标记只是为了方便展示,在实际中这是一个高维的空间,很有可能垂直方向上是W1,W2,W5…的合集而水平方向上是W3,W4,W6…的合集.

• 实际使用中公式建议为:
  $$W=W-\alpha \frac{dw}{\sqrt{S_{dw}+ϵ}}$$
  $$b=b-\alpha \frac{db}{\sqrt{S_{db}+ϵ}}$$

• 为了保证实际使用过程中分母不会为0.

• 主要目的是为了减缓参数下降时的摆动,并允许你使用一个更大的学习率 $\alpha$,从而加快你的算法速率.

2.8 Adam算法

• Adam 算法基本原理是将Momentum和RMSprop结合在一起.

算法原理

超参数取值

• 学习率 $\alpha$ 十分重要,也经常需要调试.
• ${\beta }_1$ 常用的缺省值是0.9
• ${\beta }_2$ Adam的发明者推荐使用的数值是0.999
• $ϵ的取值没有那么重要,Adam论文的作者建议为ϵ=10^{-8}$
• 在实际使用中,${\beta }_1,{\beta }_2,ϵ都是使用的推荐的缺省值,一般调整的都是学习率\alpha$
• Adam: Adaptive Moment Estimation(自适应估计时刻)

2.9 学习率衰减(learning rate decay)

• 加快学习算法的一个办法就是随时间慢慢减少学习率,我们将之称为学习率衰减(learning rate decay)

概括

• 假设你要使用mini-batch梯度下降法,mini-batch数量不大,大概64或者128个样本,但是在迭代过程中会有噪音,下降朝向这里的最小值,但是不会精确的收敛,所以你的算法最后在附近摆动.,并不会真正的收敛.因为你使用的是固定的 $\alpha$,在不同的mini-batch中有杂音,致使其不能精确的收敛.

• 但如果能慢慢减少学习率 $\alpha$ 的话,在初期的时候,你的学习率还比较大,能够学习的很快,但是随着 $\alpha$ 变小,你的步伐也会变慢变小.所以最后的曲线在最小值附近的一小块区域里摆动.所以慢慢减少 $\alpha$ 的本质在于在学习初期,你能承受较大的步伐, 但当开始收敛的时候,小一些的学习率能让你的步伐小一些.

细节

• 一个epoch表示要遍历一次数据,即就算有多个mini-batch,但是一定要遍历所有数据一次,才叫做一个epoch.
• 学习率 $\alpha ,其中{\alpha }_0表示初始学习率,decay-rate是一个新引入的超参数$ :
  $$\alpha =\frac{1}{1+decay-rate\ast epoch-num}\ast {\alpha }_0$$
  

其他学习率衰减公式

指数衰减

$$\alpha =decay-rat{e}^{epoch-num}\ast {\alpha }_0$$
$$\alpha =\frac{k}{\sqrt{epoch-num}}\ast {\alpha }_0其中k是超参数$$
$$\alpha =\frac{k}{\sqrt{t}}\ast {\alpha }_0其中k是超参数,t表示mini-batch的标记数字$$