HDOJ 4497 GCD and LCM

求解特定数学问题

最新推荐文章于 2018-09-02 20:03:40 发布

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本文介绍了一种通过质因数分解解决特定数学问题的方法，该问题要求找出满足给定最大公约数和最小公倍数的所有三元组(x, y, z)的数量。

Problem Description

Given two positive integers G and L, could you tell me how many solutions of (x, y, z) there are, satisfying that gcd(x, y, z) = G and lcm(x, y, z) = L?
Note, gcd(x, y, z) means the greatest common divisor of x, y and z, while lcm(x, y, z) means the least common multiple of x, y and z.
Note 2, (1, 2, 3) and (1, 3, 2) are two different solutions.

Input

First line comes an integer T (T <= 12), telling the number of test cases. The next T lines, each contains two positive 32-bit signed integers, G and L. It’s guaranteed that each answer will fit in a 32-bit signed integer.

Output

For each test case, print one line with the number of solutions satisfying the conditions above.

Sample Input

2 
6 72 
7 33

Sample Output

72 
0
一.问题分析
这道题很有代表性，通过这道题可以从另一种观点看待gcd和lcm
分析：这题明显要用唯一分解定理来做。gcd(x,y,x)=G,lcm(x,y,z)=L; 
x=p1^a1*p2^a2……ps^as; 
y=p1^b1*p2^b2……ps^bs; 
z=p1^c2*p2^c2……ps^cs; 
G,L已知，满足条件： 
G=p1^min(a1,b1,c1)……ps^min(as,bs,cs)=p1^e1……ps^es 
L=p1^max(a1,b1,c1)……ps^max(as,bs,cs)=p1^h1……ps^hs 
则满足 ei=min(ai,bi,ci) hi=max(ai,bi,bi),考虑组合数。 
考虑有序数对，对于每个（ei,hi) ,让 (x,y,z)固定两个数，让一个数变化有 6种，即 A(3,2)=6，每一种有（hi-ei+1)种。 
然后考虑重复情况，每次，只要(x,y,z)中只出现ei,hi的情况重复，总共重复6次。即 6*（hi-ei+1)-6=6*（hi-ei)种。 
即 6*(h1-e1)*6（h2-e2)……，由于是幂指数相减，考虑L/G就可。如果不能整除，即没有（x,y,z)满足条件。公式推出，题目就好做了！
二.漫长的debug过程
首先我的解决是先构造出来素数表，然后利用素数表来进行。。。。。，然而先不说利用素数表和直接分解质因数那个快，但是这个思路写起来还是很麻烦的。然后还有就是要对数学公式进一步化简之后只用分解L／g就好了，这样就会很简单了啊。。。。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e7+5;
int factor[maxn],counter;
void init(int n)
{
    counter=0;
    for(int i=2;i<=sqrt(n)+0.0;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            counter++;
            factor[counter]=0;
            while(n%i==0)
            {
                factor[counter]++;
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n!=1) factor[++counter]=1;
}
int main()
{
    //freopen("/Users/zhangjiatao/Documents/暑期训练/input.txt","r",stdin);
    int T;
    cin>>T;
    for(int t=1;t<=T;t++)
    {
        int l,g;
        cin>>g>>l;
        if(l%g!=0)
        {
            cout<<"0"<<endl;
            continue;
        }
        int k=l/g;
        init(k);
        long long sum=1;
        for(int i=1;i<=counter;i++)
        {
            sum*=6*factor[i];
        }
        cout<<sum<<endl;
    }
}