nyoj119(RMQ算法+线段树)

士兵杀敌（三）

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难度： 5

描述

南将军统率着N个士兵，士兵分别编号为1~N,南将军经常爱拿某一段编号内杀敌数最高的人与杀敌数最低的人进行比较，计算出两个人的杀敌数差值，用这种方法一方面能鼓舞杀敌数高的人，另一方面也算是批评杀敌数低的人，起到了很好的效果。

所以，南将军经常问军师小工第i号士兵到第j号士兵中，杀敌数最高的人与杀敌数最低的人之间军功差值是多少。

现在，请你写一个程序，帮小工回答南将军每次的询问吧。

注意，南将军可能询问很多次。

输入

只有一组测试数据
第一行是两个整数N,Q，其中N表示士兵的总数。Q表示南将军询问的次数。(1<N<=100000,1<Q<=1000000)
随后的一行有N个整数Vi(0<=Vi<100000000)，分别表示每个人的杀敌数。
再之后的Q行，每行有两个正正数m,n，表示南将军询问的是第m号士兵到第n号士兵。

输出

对于每次询问，输出第m号士兵到第n号士兵之间所有士兵杀敌数的最大值与最小值的差。

样例输入

5 2
1 2 6 9 3
1 2
2 4

样例输出

1
7

运用RMQ算法：

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

ST算法（Sparse Table），以求最大值为例，设d[i,j]表示[i,i+2^j-1]这个区间内的最大值，那么在询问到[a,b]区间的最大值时答案就是max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])，其中k是满足2^k<=b-a+1(即长度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。d的求法可以用动态规划，d[i, j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j-1])。

首先是预处理，用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1,2]=5，f[1,3]=8，f[2,0]=2，f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是 状态转移方程。我们把f[i,j]（j≥1）平均分成两段（因为j≥1时，f[i,j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段（长度都为2^（j-1））。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。

接下来是得出最值，也许你想不到计算出f有什么用处，一般要想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f对应）。直接给出表达式：

k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));

ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);

这样就计算了从l开始，长度为2^k的区间和从r-2^k+1开始长度为2^k的区间的最大值（表达式比较繁琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑），二者中的较大者就是整个区间[l,r]上的最大值。

以上为百度百科的解释;

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<string.h>
#include<cmath>
using namespace std;


const int maxn=100005;
int f[maxn][20],g[maxn][20],v[maxn],n;//f=max,g=min
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i][0]=g[i][0]=v[i];
    int k=(log((double)(n))/log(2.0));
    for(int j=1;j<=k;j++)
    for(int i=1;(i+(1<<j)-1)<=n;i++)
    {
        f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        g[i][j]=min(g[i][j-1],g[i+(1<<(j-1))][j-1]);
    }

}
int main()
{
    memset(g,0,sizeof(g));
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(v,0,sizeof(v));
    int q,a,b;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&v[i]);
    init();
    while(q--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int k=(int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));
        int dpmax=max(f[a][k],f[b-(1<<k)+1][k]);//为什么不可以改为a+(1<<(k))+1？
        int dpmin=min(g[a][k],g[b-(1<<k)+1][k]);
        printf("%d \n",dpmax-dpmin);
    }
}

哪位大神可以指点一下为什么不可以改为dpmax=max(f[a][k], f[ a+(1<<(k))+1][k])

我的想法是：既然将区间化为两部分一部分一部分是从i 到i+(1<<(k-1))-1,第二部分是从i+(1<<(k-1))到i+(1<<k)-1;

那按上面的说法，f[i][j]表示起始位置为i长度为j的区间，那么求a到b区间的最大值，就可以将其化为两部分，求的k，即f[a][k]和f[a+(1<<k)+1][k]，这个证明有什么问题呢？

实际上不对，但这思路错哪呢？

求大神给个解释!