数据结构之最短路径（DijKstra）

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
    Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，比如数据结构、图论、运筹学等。
   
1、算法思想
    令G = （V，E）为一个带权有向图，把图中的顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；第二组是未确定最短路径的顶点集合U。在加入过程中，总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到U中任何顶点的最短路径长度。
 
2、算法步骤
    （1）初始化时，S只含有源节点；
    （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）；
    （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源节点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值是顶点k的距离加上k到u的距离；
    （4）重复步骤（2）和（3），直到所有顶点都包含在S中。
    具体图例与算法执行步骤：（就从A开始，到各节点的最短路径）。
     

    具体执行步骤如下图所示。
    

    PS：图片右下角是原作者的博客地址。
    
3、算法具体实现
     算法的具体实现如下所示。

1. #include "stdio.h"
   
2. #include "stdlib.h"
   
3. #include "io.h"
   
4. #include "math.h"
   
5. #include "time.h"
   
6. 
   
7. #define OK 1
   
8. #define ERROR 0
   
9. #define TRUE 1
   
10. #define FALSE 0
    
11. 
    
12. #define MAXEDgE 20
    
13. #define MAXVEX 20
    
14. #define INFINITY 65535
    
15. 
    
16. typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
    
17. 
    
18. 
    
19. typedef struct
    
20. {
    
21.     int vexs[MAXVEX];
    
22.     int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    
23.     int numVertexes, numEdges;
    
24. }Mgraph;
    
25. 
    
26. typedef int Patharc[MAXVEX];            /* 用于存储最短路径下标的数组 */
    
27. typedef int ShortPathTable[MAXVEX];        /* 用于存储到各点最短路径的权值和 */
    
28. 
    
29. 
    
30. void CreateMgraph(Mgraph *g)
    
31. {
    
32.     int i, j;
    
33. 
    
34.     /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
    
35.     g->numEdges=16;
    
36.     g->numVertexes=9;
    
37. 
    
38.     for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    
39.     {
    
40.         g->vexs[i]=i;
    
41.     }
    
42. 
    
43.     for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    
44.     {
    
45.         for ( j = 0; j < g->numVertexes; j++)
    
46.         {
    
47.             if (i==j)
    
48.                 g->arc[i][j]=0;
    
49.             else
    
50.                 g->arc[i][j] = g->arc[j][i] = INFINITY;
    
51.         }
    
52.     }
    
53. 
    
54.     g->arc[0][1]=1;
    
55.     g->arc[0][2]=5;
    
56.     g->arc[1][2]=3;
    
57.     g->arc[1][3]=7;
    
58.     g->arc[1][4]=5;
    
59. 
    
60.     g->arc[2][4]=1;
    
61.     g->arc[2][5]=7;
    
62.     g->arc[3][4]=2;
    
63.     g->arc[3][6]=3;
    
64.     g->arc[4][5]=3;
    
65. 
    
66.     g->arc[4][6]=6;
    
67.     g->arc[4][7]=9;
    
68.     g->arc[5][7]=5;
    
69.     g->arc[6][7]=2;
    
70.     g->arc[6][8]=7;
    
71. 
    
72.     g->arc[7][8]=4;
    
73. 
    
74. 
    
75.     for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    
76.     {
    
77.         for(j = i; j < g->numVertexes; j++)
    
78.         {
    
79.             g->arc[j][i] =g->arc[i][j];
    
80.         }
    
81.     }
    
82. 
    
83. }
    
84. 
    
85. /* Dijkstra算法，求有向网g的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */
    
86. /* P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */
    
87. void ShortestPath_Dijkstra(Mgraph g, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
    
88. {
    
89.     int v,w,k,min;
    
90.     int final[MAXVEX];                    /* final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 */
    
91.     
    
92.     /* 初始化数据 */
    
93.     for(v=0; v<g.numVertexes; v++)        
    
94.     {
    
95.         final[v] = 0;                    /* 全部顶点初始化为未知最短路径状态 */
    
96.         (*D)[v] = g.arc[v0][v];            /* 将与v0点有连线的顶点加上权值 */
    
97.         (*P)[v] = 0;                    /* 初始化路径数组P为0 */
    
98.     }
    
99. 
    
100.     (*D)[v0] = 0;                        /* v0至v0路径为0 */
     
101.     final[v0] = 1;                        /* v0至v0不需要求路径 */
     
102.     
     
103.     /* 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径 */
     
104.     for(v=1; v<g.numVertexes; v++)
     
105.     {
     
106.         min=INFINITY;                    /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */
     
107.         for(w=0; w<g.numVertexes; w++) /* 寻找离v0最近的顶点 */
     
108.         {
     
109.             if(!final[w] && (*D)[w]<min)
     
110.             {
     
111.                 k=w;
     
112.                 min = (*D)[w];            /* w顶点离v0顶点更近 */
     
113.             }
     
114.         }
     
115.         final[k] = 1;                    /* 将目前找到的最近的顶点置为1 */
     
116. 
     
117.         /* 修正当前最短路径及距离 */
     
118.         for(w=0; w<g.numVertexes; w++)
     
119.         {
     
120.             /* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */
     
121.             if(!final[w] && (min+g.arc[k][w]<(*D)[w]))
     
122.             {
     
123.                 /* 说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w] */
     
124.                 (*D)[w] = min + g.arc[k][w]; /* 修改当前路径长度 */
     
125.                 (*P)[w]=k;
     
126.             }
     
127.         }
     
128.     }
     
129. }
     
130. 
     
131. int main(void)
     
132. {
     
133.     int i,j,v0;
     
134.     Mgraph g;
     
135.     Patharc P;
     
136.     ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */
     
137.     v0=0;
     
138.     
     
139.     CreateMgraph(&g);
     
140.     
     
141.     ShortestPath_Dijkstra(g, v0, &P, &D);
     
142. 
     
143.     printf("最短路径倒序如下:\n");
     
144.     for(i=1;i<g.numVertexes;++i)
     
145.     {
     
146.         printf("v%d - v%d : ",v0,i);
     
147.         j=i;
     
148.         while(P[j]!=0)
     
149.         {
     
150.             printf("%d ",P[j]);
     
151.             j=P[j];
     
152.         }
     
153.         printf("\n");
     
154.     }
     
155.     printf("\n源点到各顶点的最短路径长度为:\n");
     
156.     for(i=1;i<g.numVertexes;++i)
     
157.         printf("v%d - v%d : %d \n",g.vexs[0],g.vexs[i],D[i]);
     
158.     return 0;
     
159. }