【HDU】3698 Let the light guide us 线段树+DP

最新推荐文章于 2020-02-07 20:31:07 发布

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本文探讨了一道HDU难题的解决方法，通过将问题转化为每行选择一个点，使得相邻两行的点互达。利用线段树进行区间查询和更新，实现O(nmlogm)复杂度的优化算法。

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题目分析：有一个操作为| j - k | <= F( i , j ) + F ( i + 1 , k )，我们不妨把绝对值去掉。

当j < k时：k - j <= F ( i , j ) + F ( i + 1 , k ) ==> k - F( i + 1 , k ) <= F( i , j ) + j。即 i 行的区间[ j , j + F( i , j ) ]如果和i + 1行的区间[ k - F( i + 1 , k ) , k ]有交集，则称( i , j )与( i + 1 , k )互达。

当j >= k时同理。

那么问题转化成每行选择一个点使得相邻两行的点互达！

我们设dp[ i ][ j ]表示前 i 行的点已经选好以后的最小花费。

则dp[ i + 1 ][ k ] = min { dp[ i ][ j ] | 所有满足( i , j ) 与 ( i + 1 , k ) 互达的 j } + cost[ i + 1][ k ]。

当然朴素的一层一层推上去的话，复杂度高达O(nm^2)，难以承受。

我们可以转化一下，假设我们知道了区间[ k - F ( i + 1 , k ) , k + F ( i + 1 , k ) ]内的最小的dp[ i ][ j ]，那么是不是就可以得到dp[ i + 1][ k ]了呢？那么求区间最小值可以用线段树的区间查询来完成。

那么我们怎么知道这个区间内值都是多少？Bingo！我们可以用线段树的区间更新插入第 i 行每个 dp[ i ][ j ] 可以影响的区间[ j - F ( i , j ) , j + F ( i , j ) ]，然后每个点只取能覆盖到这个点的最小的dp[ i ][ j ]。因为只有产生交集，dp[ i ][ j ]才有可能对dp[ i + 1 ][ k ]的取值有影响，所以这样算法正确性便得到了保障！

改进后的算法复杂度为O( nmlogm )。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;
 
#define REP( i , a , b ) for ( int i = ( a ) ; i <  ( b ) ; ++ i )
#define FOR( i , a , b ) for ( int i = ( a ) ; i <= ( b ) ; ++ i )
#define REV( i , a , b ) for ( int i = ( a ) ; i >= ( b ) ; -- i )
#define travel( e , H , u ) for ( Edge* e = H[u] ; e ; e = e -> next )
#define CLR( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )
#define CPY( a , x ) memcpy ( a , x , sizeof a )
#define ls ( o << 1 )
#define rs ( o << 1 | 1 )
#define lson ls , l , m
#define rson rs , m + 1 , r
#define root 1 , 1 , m
#define mid ( ( l + r ) >> 1 )

const int MAXN = 5005 ;
const int INF = 0x3f3f3f3f ;

int minv[MAXN << 2] , mark[MAXN << 2] ;

void pushdown ( int o ) {
	if ( mark[o] != INF ) {
		minv[ls] = min ( minv[ls] , mark[o] ) ;
		minv[rs] = min ( minv[rs] , mark[o] ) ;
		mark[ls] = min ( mark[ls] , mark[o] ) ;
		mark[rs] = min ( mark[rs] , mark[o] ) ;
		mark[o] = INF ;
	}
}

void update ( int L , int R , int v , int o , int l , int r ) {
	if ( L <= l && r <= R ) {
		minv[o] = min ( minv[o] , v ) ;
		mark[o] = min ( mark[o] , v ) ;
		return ;
	}
	int m = mid ;
	pushdown ( o ) ;
	if ( L <= m ) update ( L , R , v , lson ) ;
	if ( m <  R ) update ( L , R , v , rson ) ;
	minv[o] = min ( minv[ls] , minv[rs] ) ;
}

int query ( int L , int R , int o , int l , int r ) {
	if ( L <= l && r <= R ) return minv[o] ;
	int m = mid ;
	pushdown ( o ) ;
	if ( R <= m ) return query ( L , R , lson ) ;
	if ( m <  L ) return query ( L , R , rson ) ;
	return min ( query ( L , R , lson ) , query ( L , R , rson ) ) ;
}

void scanf ( int& x , char c = 0 ) {
	while ( ( c = getchar () ) < '0' || c > '9' ) ;
	x = c - '0' ;
	while ( ( c = getchar () ) >= '0' && c <= '9' ) x = x * 10 + c - '0' ;
}

int n , m ;
int dp[MAXN] ;
int T[105][MAXN] , F[105][MAXN] ;

void solve () {
	FOR ( i , 1 , n ) FOR ( j , 1 , m ) scanf ( T[i][j] ) ;
	FOR ( i , 1 , n ) FOR ( j , 1 , m ) scanf ( F[i][j] ) ;
	FOR ( i , 1 , m ) dp[i] = T[1][i] ;
	FOR ( i , 2 , n ) {
		CLR ( minv , INF ) ;
		CLR ( mark , INF ) ;
		FOR ( j , 1 , m ) update ( max ( 1 , j - F[i - 1][j] ) , min ( m , j + F[i - 1][j] ) , dp[j] , root ) ;
		FOR ( j , 1 , m ) dp[j] = query ( max ( 1 , j - F[i][j] ) , min ( m , j + F[i][j] ) , root ) + T[i][j] ;
	}
	int ans = INF ;
	FOR ( i , 1 , m ) if ( ans > dp[i] ) ans = dp[i] ;
	printf ( "%d\n" , ans ) ;
}

int main () {
	while ( ~scanf ( "%d%d" , &n , &m ) && ( n || m ) ) solve () ;
	return 0 ;
}