【HDU】1384 Intervals 差分约束系统

本文介绍了一个解决差分约束系统问题的方法，通过构建差分约束图并利用单源最短路算法求解。以HDU 1384 Intervals为例，详细解释了如何将给定的不等式转化为图结构，并通过源点跑单源最短路来找到满足条件的最小和最大区间值。最后，通过设置源点和目标点，计算出所有区间内符合条件的最少c的个数。

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传送门：【HDU】1384 Intervals

题目分析：差分约束系统第一题。。。。

什么是差分约束系统，就是给你一组类似于xj-xi<=ci的不等式，让你求向量x的一组解（一般只让你求某个元素的值）。对于xj-xi<=ci这个不等式我们能得到什么有用的信息？没错！xj-xi<=ci ---> xj<=xi+ci ---> d[v]<=d[u]+Edge[u][v]！

瞬间和图论中的松弛的三角不等式对应起来了！这样我们只要对所有的xj-xi<=ci建边(xi,xj,ci)，然后再设立一个源点，源点s到所有的边权为0，即xi-xs<=0，建边(xs,xi,0)，从源点跑一遍单源最短路就能得到差分约束系统的一组解，但是要在图中无负环的前提下，因为如果存在负环则差分约束系统无解。为什么？假设存在x1-x2<=-3,x3-x1<=1,x2-x3<=-2，那么将这个不等式组相加后得到0<=-5，显然这是矛盾的，所以不等式组无解。

对于本题，由于bi-ai>=ci，所以我们可以得到一组不等式ai-bi<=-ci，并且由于x(i)-x(i-1)<=1，x(i-1)-x(i)<=0(x(i)-x(i-1)>=0)，所以我们将这所有的关系用上述方法建边先。注意到本题要求的其实就是所有区间最小的最左端minv到所有区间最大的最右端maxv内符合条件的最少的c的个数，设d[i]为0~i内最少的c的个数，那么答案即d[maxv] - d[minv-1]，我们可以直接令maxv为源点，那么答案就是-d[minv-1]。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;

#define REP( i , a , b ) for ( int i = a ; i < b ; ++ i )
#define FOR( i , a , b ) for ( int i = a ; i <= b ; ++ i )
#define REV( i , a , b ) for ( int i = a ; i >= b ; -- i )
#define CLR( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )

const int MAXN = 50005 ;
const int MAXQ = 50005 ;
const int MAXE = 1000000 ;
const int INF = 0x3f3f3f3f ;

struct Edge {
	int v , c ;
	Edge *next ;
	Edge () {}
	Edge ( int v , int c , Edge *next ) : v ( v ) , c ( c ) , next ( next ) {}
} E[MAXE] , *H[MAXN] , *cntE ;

int d[MAXN] ;
bool inq[MAXN] ;
int Q[MAXN] , head , tail ;
int n ;

void init () {
	cntE = E ;
	CLR ( H , 0 ) ;
}

void addedge ( int u , int v , int c ) {
	cntE -> v = v ;
	cntE -> c = c ;
	cntE -> next = H[u] ;
	H[u] = cntE ++ ;
}

void spfa ( int s ) {
	CLR ( inq , 0 ) ;
	CLR ( d , INF ) ;
	head = tail = 0 ;
	d[s] = 0 ;
	Q[tail ++] = s ;
	while ( head != tail ) {
		int u = Q[head ++] ;
		if ( head == MAXQ ) head = 0 ;
		inq[u] = 0 ;
		for ( Edge* e = H[u] ; e ; e = e -> next ) {
			int v = e -> v ;
			if ( d[v] > d[u] + e -> c ) {
				d[v] = d[u] + e -> c ;
				if ( !inq[v] ) {
					inq[v] = 1 ;
					Q[tail ++] = v ;
					if ( tail == MAXQ ) tail = 0 ;
				}
			}
		}
	}
}

void solve () {
	int u , v , c ;
	int minv = INF , maxv = 0 ;
	init () ;
	REP ( i , 0 , n ) {
		scanf ( "%d%d%d" , &u , &v , &c ) ;
		addedge ( v , u - 1 , -c ) ;
		minv = min ( minv , u ) ;
		maxv = max ( maxv , v ) ;
	}
	FOR ( i , minv , maxv ) {
		addedge ( i , i - 1 , 0 ) ;
		addedge ( i - 1 , i , 1 ) ;
	}
	spfa ( maxv ) ;
	printf ( "%d\n" , -d[minv - 1] ) ;
}
	

int main () {
	while ( ~scanf ( "%d" , &n ) )
		solve () ;
	return 0 ;
}