图(4)--最短路径

最短路径分为两种：

             单源最短路径：一个点到其他所有点的最短距离（Dijkstra：迪杰斯特拉算法）

             所有点之间的最短路径：Floyd(弗洛伊德算法)

一.迪杰斯特拉算法：

          这个算法类似于最小生成树算法，从起点V0开始选择所有可以直接到达的路径，在里面选择一条最短的Vk，然后以V0和Vk为已选择的结点集合U，再次选择它们可直接到达的所有路径，然后对其余各条路径进行适当调整,若在图中存在弧(vi, vk)，且(v0, vi)+(vi, vk) < (v0, vk), 则以路径(v0, vi, vk) 代替(v0, vk) ,在调整后的各条路径中，再找长度最短的路径的点加入到U...........依此类推。

          

         与最小生成树的不同是不必选择所有结点，并且路径是累加的！

二.弗洛伊德算法:

         有两种解决方案：
                1. 每次以一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法n次。这样，便可求得每一对顶点之间的最短路径。总的执行时间为O(n3)。
                2. 形式更直接(易懂)的弗洛伊德（Floyd）算法。时间复杂度也为O(n3)。

         基本思想：

                           设有n个顶点V0.....Vn-1,设一矩阵D(k)[i][j]表示从vi到vj的中间顶点的序号不大于k的最短路径的长度，D(-1)[i][j]表示初始邻接矩阵的值，

                 把这个D(-1)[i][j]里面的所有Vi->Vj路径，中间加上V0,比较Vi->V0->Vj和Vi->Vj的大小，取小的代替Vi->Vj,从而得到D(0)[i][j],在在D(0)[i][j]

                 的基础上把V0V1加上，比较得到小的取代Vi->Vj..........以此类推，从而得到结果。

              

                P矩阵表示路径。