LeetCode --- Median of Two Sorted Arrays

本文探讨了LeetCode上一道经典题目——寻找两个有序数组的中位数。通过逐步分析,介绍了几种不同的解题思路,并最终给出了一种时间复杂度为O(log(min(m,n)))的解决方案。

第一次在csdn上写备忘录,以前一直是在笔记本上写,主要是笔记本上可以随意写,只要自己能看懂,在网页上多少都受些限制,另外一方面也是想锻炼下写作能力,为以后的论文做基础吧!最近偶尔上leetcode练些题目,所以也就以这个为主题写一篇试试看,因为能力不足,理解或言辞上会有错误,还望访者不吝赐教,我定当万分感激。

好了,废话也说完了,现在进入正题:

题目:

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of thetwo sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

  题目大意是:有两个有序数组,大小分别为m和n,求这两个数组的中位数。时间复杂度要求是O(log(m+n))

    例子:a=[1,3]b=[2]     return 2

    a=[1,2]b=[3,4]    return 2.5

思路1: 最容易想到的当然是将两数组合并成一个有序数组,再求取中位数。合并的时间复杂度是是O(m+n),能在常数时间内求得合并后的中位数,总的时间复杂度为O(m+n),不符合题意要求。

思路2:基于《算法导论》第9章对“快排”主元的选取以及partition的讨论扩展,期望时间是O(m+n)),最坏情况为O((m+n)log(m+n))。也不符合题意。

   为扩展思路,将原问题扩展到选择两数组第k小的元素。《算法导论》第9章节对选取单个数组第k小的元素有详细讨论和论证,有兴趣的话可以参阅。课后习题9.3-8跟该问题类似,只不过那里的两个数组是同样大小的,那么,我们就从同样大小的两个数组说起吧。

现在选取A、B两个数组的第K小元素,线上的红点地方就是最后的位置,假设a1包含的元素为k1个,那么b1的元素个数k2=k-k1,那么得出的结论是什么?两个红点位置的元素是相等。如果两个位置的元素不相等,那么合并成一个有序数组后,这两个元素之间必然存在其他元素,结论不正确,只有当这两个元素相等时,合并后,位置重合,刚好这个位置之前包含的元素个数就是k个。当两个元素不相等时,则应该分情况讨论:

1.如果A[a1]=B[b1],则返回。

2.如果A[al]<B[b1],则要寻找两个元素相等,并且使a1+b1=k,那么只有a1长度增加,b1长度减少。也 就是在a2和b1中寻找。因为a1段元素必然是比第k小元素小的元素,所以在a2和b1中只需要找k-k1小的元素。

3.如果A[a1]>B[b1],在应该在a1和b2中寻找k-k2小的元素。

下面要解决的问题就是怎么确定a1和b1的初始长度。本着公平公开的原则,初始化时,各占一半,也就是k/2,也就是二分。再结合上诉3点,就能够解决问题了。

再回到长度不相等的情况,经过上面分析,长度不相等的情况也就很容易解决了,不是吗?无非是考虑一些特殊情况(假设A的长度小于B的长度):

1.如果len(A)=0; return B[k-1];

2.如果k=1,return min(A[0],B[0]);

3.初始化时,如果len(A)<k/2,则A取全部元素。

综上,code如下:

double findkth(int *a, int m, int *b, int n, int k)
{
    if( m > n )
        return findkth(b,n,a,m,k);
    if( m == 0 )
        return b[k-1];
    if( k == 1)
        return min(a[0],b[0]);
    int pa = min(m,k/2), pb = k-pa;
    
    if( a[pa-1] < b[pb-1])
        return findkth(a+pa, m-pa, b,pb,k-pa);
    else if(a[pa-1] > b[pb-1])
        return findkth(a,pa,b+pb,n-pb,k-pb);
    else
        return a[pa-1];
}



double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {
    
    int total = nums1Size + nums2Size;
    if( total & 0x1)
    {
        return findkth(nums1,nums1Size,nums2,nums2Size,total/2+1);
    }
    else
    {
        return (findkth(nums1,nums1Size,nums2,nums2Size,total/2)
            + findkth(nums1,nums1Size,nums2,nums2Size,(total/2)+1))/2;
    }
}

可以使用二分查找算法来解决这个问题。 首先,我们可以将两个数组合并成一个有序数组,然后求出中位数。但是,这个方法的时间复杂度为 $O(m + n)$,不符合题目要求。因此,我们需要寻找一种更快的方法。 我们可以使用二分查找算法在两个数组中分别找到一个位置,使得这个位置将两个数组分成的左右两部分的元素个数之和相等,或者两部分的元素个数之差不超过 1。这个位置就是中位数所在的位置。 具体来说,我们分别在两个数组中二分查找,假设现在在第一个数组中找到了一个位置 $i$,那么在第二个数组中对应的位置就是 $(m + n + 1) / 2 - i$。如果 $i$ 左边的元素个数加上 $(m + n + 1) / 2 - i$ 左边的元素个数等于 $m$ 个,或者 $i$ 左边的元素个数加上 $(m + n + 1) / 2 - i$ 左边的元素个数等于 $m + 1$ 个,则这个位置就是中位数所在的位置。 具体的实现可以参考以下 Java 代码: ```java public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) { int m = nums1.length, n = nums2.length; if (m > n) { // 保证第一个数组不大于第二个数组 int[] tmp = nums1; nums1 = nums2; nums2 = tmp; int t = m; m = n; n = t; } int imin = 0, imax = m, halfLen = (m + n + 1) / 2; while (imin <= imax) { int i = (imin + imax) / 2; int j = halfLen - i; if (i < imax && nums2[j - 1] > nums1[i]) { imin = i + 1; // i 太小了,增大 i } else if (i > imin && nums1[i - 1] > nums2[j]) { imax = i - 1; // i 太大了,减小 i } else { // i 是合适的位置 int maxLeft = 0; if (i == 0) { // nums1 的左边没有元素 maxLeft = nums2[j - 1]; } else if (j == 0) { // nums2 的左边没有元素 maxLeft = nums1[i - 1]; } else { maxLeft = Math.max(nums1[i - 1], nums2[j - 1]); } if ((m + n) % 2 == 1) { // 总元素个数是奇数 return maxLeft; } int minRight = 0; if (i == m) { // nums1 的右边没有元素 minRight = nums2[j]; } else if (j == n) { // nums2 的右边没有元素 minRight = nums1[i]; } else { minRight = Math.min(nums1[i], nums2[j]); } return (maxLeft + minRight) / 2.0; } } return 0.0; } ``` 时间复杂度为 $O(\log\min(m, n))$。
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