LeetCode --- Median of Two Sorted Arrays

第一次在csdn上写备忘录，以前一直是在笔记本上写，主要是笔记本上可以随意写，只要自己能看懂，在网页上多少都受些限制，另外一方面也是想锻炼下写作能力，为以后的论文做基础吧！最近偶尔上leetcode练些题目，所以也就以这个为主题写一篇试试看，因为能力不足，理解或言辞上会有错误，还望访者不吝赐教，我定当万分感激。

好了，废话也说完了，现在进入正题：

题目：

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of thetwo sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

  题目大意是：有两个有序数组，大小分别为m和n，求这两个数组的中位数。时间复杂度要求是O(log(m+n))。

    例子：a=[1,3]b=[2]     return 2

    a=[1,2]b=[3,4]    return 2.5

思路1: 最容易想到的当然是将两数组合并成一个有序数组，再求取中位数。合并的时间复杂度是是O(m+n),能在常数时间内求得合并后的中位数，总的时间复杂度为O(m+n)，不符合题意要求。

思路2：基于《算法导论》第9章对“快排”主元的选取以及partition的讨论扩展，期望时间是O(m+n))，最坏情况为O((m+n)log(m+n))。也不符合题意。

   为扩展思路，将原问题扩展到选择两数组第k小的元素。《算法导论》第9章节对选取单个数组第k小的元素有详细讨论和论证，有兴趣的话可以参阅。课后习题9.3-8跟该问题类似，只不过那里的两个数组是同样大小的，那么，我们就从同样大小的两个数组说起吧。

现在选取A、B两个数组的第K小元素，线上的红点地方就是最后的位置，假设a1包含的元素为k1个，那么b1的元素个数k2=k-k1，那么得出的结论是什么？两个红点位置的元素是相等。如果两个位置的元素不相等，那么合并成一个有序数组后，这两个元素之间必然存在其他元素，结论不正确，只有当这两个元素相等时，合并后，位置重合，刚好这个位置之前包含的元素个数就是k个。当两个元素不相等时，则应该分情况讨论：

1.如果A[a1]=B[b1],则返回。

2.如果A[al]<B[b1],则要寻找两个元素相等，并且使a1+b1=k，那么只有a1长度增加，b1长度减少。也 就是在a2和b1中寻找。因为a1段元素必然是比第k小元素小的元素，所以在a2和b1中只需要找k-k1小的元素。

3.如果A[a1]>B[b1]，在应该在a1和b2中寻找k-k2小的元素。

下面要解决的问题就是怎么确定a1和b1的初始长度。本着公平公开的原则，初始化时，各占一半，也就是k/2，也就是二分。再结合上诉3点，就能够解决问题了。

再回到长度不相等的情况，经过上面分析，长度不相等的情况也就很容易解决了，不是吗？无非是考虑一些特殊情况(假设A的长度小于B的长度)：

1.如果len(A)=0; return B[k-1];

2.如果k=1，return min(A[0],B[0]);

3.初始化时，如果len(A)<k/2，则A取全部元素。

综上，code如下：

double findkth(int *a, int m, int *b, int n, int k)
{
    if( m > n )
        return findkth(b,n,a,m,k);
    if( m == 0 )
        return b[k-1];
    if( k == 1)
        return min(a[0],b[0]);
    int pa = min(m,k/2), pb = k-pa;
    
    if( a[pa-1] < b[pb-1])
        return findkth(a+pa, m-pa, b,pb,k-pa);
    else if(a[pa-1] > b[pb-1])
        return findkth(a,pa,b+pb,n-pb,k-pb);
    else
        return a[pa-1];
}



double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {
    
    int total = nums1Size + nums2Size;
    if( total & 0x1)
    {
        return findkth(nums1,nums1Size,nums2,nums2Size,total/2+1);
    }
    else
    {
        return (findkth(nums1,nums1Size,nums2,nums2Size,total/2)
            + findkth(nums1,nums1Size,nums2,nums2Size,(total/2)+1))/2;
    }
}