六.树的多种分类

1.属性

• 树是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合，形状像树。
  
• 节点属性：
  
  1. 度 这个节点所包含的子树个数。
  2. 关系 这个节点与父节点、子节点、兄弟节点、堂兄弟节点关系。祖先和子孙的关系。
  3. 层次 根为第1层，根的子节点为第2层，依次类推。

名词	含义
叶节点	度为0
分支节点	度不为0
兄弟关系	同一个父节点
堂兄弟关系	双亲同一层
祖先	从该节点到根节点所有分支节点
子孙	以某节点为根的子树中，任意节点都是根节点的子孙

* 树的属性
1. 度 一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
2. 层次 树中节点的最大层次；
3. n(n>0)个不相交的树的集合为森林！

2.树的分类

2.1 无序树

• 一个父节点下的子节点没有顺序关系，称为无序树，也是自由树。
  

2.1 有序树

• 一个父节点下的子节点有严格的顺序关系，称为有序树。

2.1.1 二叉树

• 二叉树属于有序树，并且每个节点最多含有两个子节点。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。
  二叉树第i层至多有2^(i-1)个节点，深度为h时，最多有
  下图中有一个节点拥有三个子节点，所以不是二叉树。
  

• 满二叉树
  二叉树的最下面一层元素全部满就是满二叉树。
  

• 完全二叉树
  二叉树的n-1层全满，n层元素全部连续集中在最左边。
  

• 二叉查找树(二叉排序\搜索树)
  特点：

  1. 没有相同键值的节点。
  2. 若左子树不空，那么其所有子孙都比根节点小。
  3. 若右子树不空，那么其所有子孙都比根节点大。
  4. 左右子树也分别为二叉排序树。

  如图：
  

• 平衡二叉树
  平衡二叉树是一种结构平衡的二叉查找树，左右子树的高度之差的绝对值最大为1。

  1. AVL树
     最早被发明的平衡二叉树。
     
     

  2. 红黑树
     一种被赋予颜色含义的平衡二叉树。

  3. 每个节点的颜色为红色或黑色。
  4. 根节点为黑色。
  5. 每个叶子节点都有两个空的黑色节点。如果一个节点只有左孩子，那么它的右孩子填充一个空的黑色节点。相对，如果一个节点只有右孩子，那么它的左孩子填充一个空的黑色节点。
  6. 如果一个节点是红色的，那么它的两个孩子节点都是黑色的。

  7. 对于每个节点，到子孙叶节点的所有路径上包含相同数目的黑色节点。
     
     

  8. 树堆
     树堆一个节点拥有两个参数，一为本身的值key，一为优先级priority。key满足二叉查找树规则，priority满足堆的规则——孩子节点大于该节点。
     

2.1.2 哈夫曼树

• 哈夫曼树是一种针对权值的二叉树。一般为了减少计算机运算速度，将权重大的放在最前面。
• 构造
  
  1. 首先将元素排序。
  2. 取前两个元素构成树，其和作为根节点放入元素中。
  3. 只剩下两个元素，用根节点连接构成哈夫曼树。

例子：
给定数组 6、3、7、23、8，求其哈夫曼树。
排序：

结合最前的两个元素成为一棵树。

将第一排元素进行排序

结合最前的两个元素成为一棵树。

将第一排元素进行排序

结合最前的两个元素成为一棵树。

只有两个元素了，使用根节点将它们连接起来，构成哈夫曼树。

3.问题

• 树的深度和层次到底有什么区别呢？求解答。