质数(素数)的判断 c++

素数(质数)

定义

1. 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。
2. 0和1既不是质数也不是合数，最小的质数是2。
3. 素数是构成所有正整数的基本构造元素，任何正整数n都可以表示成素数的乘积(并具有唯一性)：

常用定理

定理1：当n≥5时，如果n为素数，那么n%6=1或n%6=5。即n一定出现在6x（x≥1）的两侧。
定理2：若n≥6且n-1和n+1为孪生素数，那么n一定是6的倍数。

质数判断的优化

优化1：对数m判断其是否为质数，判断其能否被[2, sqrt(m)]范围内的数字所整除即可，而不必时[2, m]的范围。

优化2：对优化1进行具体化，实际不用从2开始，直接从5开始，原因如下：

1. 因为6x两边的数一定是奇数，那么一定不能被2整除，故而不用考虑2。

2. 由于6x+1或者6x-1除以3，一定是2x+1/3或者2x-1/3，也不可能被3整除，故而不考虑3.

3. 由于4是偶数，且6x+1和6x-1一定是奇数，即奇数一定不能被4这个偶数除尽，故而不考虑4。

综上，从5开始判断，也就是说判断范围是[5, sqrt(m)]。

优化3：在优化2的基础上，在范围[5, sqrt(m)]内，步长也不用是1，可以设置为6，原因如下：

代码

/*本程序判断是否为一个数是否为质数(素数)*/
include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool isPrime(int n) {
	if(n<=3) return n>1;
	if(n%6!=1 && n%6!=5) return false;  //如果不在6倍数附近，肯定不是素数
 
	for(int i=5; i<=sqrt(n); i+=6)  //但在6倍数附近并不是一定就是素数，需判断
		if(n%i==0 || n%(i+2)==0) return false;
	return true;
}
 
int main() {
	int x;
	cin>>x;
	if(isPrime(x))
		cout<<"This is a prime."<<endl;
	else
		cout<<"This is not a prime."<<endl;
}