线性代数Python计算：齐二次式二次型矩阵计算

戌崂石

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数 python 矩阵

于 2022-06-16 20:07:47 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u012958850/article/details/125322264

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该博客介绍了如何将非对称矩阵通过构造新矩阵实现对称化，从而得到对应的二次型表达式。文章提供了一个Python函数`symmetrization`用于实现矩阵对称化，并通过一个具体例子展示了如何将非对称矩阵转换为对称矩阵，进而表示给定的齐二次式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述
在 $f=xTAxf=\boldsymbol{x}^\text{T}\boldsymbol{Ax}$ 中，若 $A=(aij)n×n\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$ 不是对称阵，可以通过构造元素为
$aij′=aij+aji2,1≤i,j≤na_{ij}'=\frac{a_{ij}+a_{ji}}{2},1\leq i,j\leq n$
的矩阵 $A′=(aij′)n×n\boldsymbol{A}'=(a_{ij}')_{n\times n}$ ， $A′T=A′\boldsymbol{A}'^{\text{T}}=\boldsymbol{A}'$ ，因而 $f$ 的二次型表达式
$f=xTA′x.f=\boldsymbol{x}^\text{T}\boldsymbol{A}'\boldsymbol{x}.$
对非对称矩阵表示的 $n$ 元齐二次式，可以用下列定义的函数重构二次型的矩阵。

def symmetrization(A):                  #将矩阵A对称化
    n,_=A.shape                         #读取阶数
    for i in range(n):                  #对每一行
        for j in range(i+1,n):          #每一个非主对角元素
            A[i,j]=(A[i,j]+A[j,i])/2    #A[i,j]
            A[j,i]=A[i,j]               #A[j,i]

第1~6行定义的symmetrization函数，对称化其参数A表示待的矩阵。第2行读取A的阶数n。第3~6行嵌套的二重for循环完成A的对称化操作：外层循环扫描A的每一行，内层循环对当前的第i行中位于主对角线以上的每一个元素A[i,j]（j>i）赋值为关于主对角线对称的两个元素的算术平均值(A[i,j]+A[j,i])/2（第5行），然后用改变后的A[i,j]改写对称元素A[j,i]（第6行）。循环结束，A被对称化。
例1 用Python计算齐二次式 $f=x^2+4xy+4y^2+2xz+z^2+4yz$ 的二次型矩阵 $A\boldsymbol{A}$ 。
解： $f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz=(x,y,z)(142044001)(xyz)f=x^2+4xy+4y^2+2xz+z^2+4yz=(x,y,z)\begin{pmatrix}1&4&2\\0&4&4\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ 。令 $A=(142044001)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&4&2\\0&4&4\\0&0&1\end{pmatrix}$ ，对称化 $A\boldsymbol{A}$ 即得解本例，见下列代码。

import numpy as np                  #导入numpy
from utility import symmetrization  #导入symmetrization
A=np.array([[1,4,2],                #设置初始矩阵A
            [0,4,4],
            [0,0,1]])
symmetrization(A)                   #对称化A
print(A)

结合代码中的注释信息很容易理解程序。运行程序，输出

[[1 2 1]
 [2 4 2]
 [1 2 1]]

即 $f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz=(x,y,z)(121241121)(xyz)f=x^2+4xy+4y^2+2xz+z^2+4yz=(x,y,z)\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&1\\1&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ 。
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