线性代数Python计算：矩阵分块

戌崂石

已于 2024-05-21 18:37:19 修改

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数矩阵 python

于 2022-06-12 16:37:18 首次发布

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博客介绍了numpy数组的切片操作，如A[i:j]、A[i]、A[i,j]等，并展示了如何通过hstack和vstack函数拼接矩阵。通过实例解释了如何将4x4矩阵A拆分为小块并重新组合成新的矩阵B。

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在这里插入图片描述
可以通过下标序列来访问numpy的数组a中的片段：a[[i,j]]表示a[i]和a[j]，a[:]表示所有元素，a[i:j]表示从a[i]开始直至a[j-1]为止的元素，a[:j]表示从a[0]开始直至a[j-1]为止的元素，a[i:]表示从a[i]开始后的所有元素。
对于表示矩阵的2-维数组A，A[i,j]表示第i行第j列元素。其中，列标可缺省，意为所有列，行标不可缺省。A[i,:]，或A[i]表示第i行元素，A[i:j]表示从第i行A[i]开始到第j-1行A[j-1]为止的各行，A[[i,j]]表示第i行A[i]和第j行A[j]。A[:,j]表示第j列元素，A[:,i:j]表示从第i列到第j-1列为止的各列，A[:,[i,j]]表示第i列A[:,i]和第j列A[:,j]。A[i:j,p:q]表示“块”第i行到第j-1行，第p列到第q-1列，如下图所示。
在这里插入图片描述
可以用下标序列的方法读取表示矩阵的2-维数组中的“块”，numpy还提供了两个将“小”矩阵粘结成“大”矩阵的函数hstack和vstack。前者将对干个行数相等的矩阵横向连接，其调用接口为
$hstack((A,B,...))\text{hstack((A,B,...))}$
后者对若干个列数相同的矩阵纵向连接，调用接口为
$vstack((A,B,...)).\text{vstack((A,B,...)).}$
例1 下列代码将矩阵 $A=(10000100−12101101)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\-1&2&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}$ 分成 $4$ 个 $2×22\times2$ 小块：
$A=(IOA1I),\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{I}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{A}_1&\boldsymbol{I}\end{pmatrix},$
然后将它们粘合成
$B=(A1IIO)=(−1210110110000100).\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_1&\boldsymbol{I}\\\boldsymbol{I}&\boldsymbol{O}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2&1&0\\1&1&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}.$

import numpy as np                  #导入numpy
A=np.array([[1,0,0,0],              #设置矩阵
            [0,1,0,0],
            [-1,2,1,0],
            [1,1,0,1]])
I=A[:2,:2]                          #左上角块
O=A[:2,2:]                          #右上角块
A1=A[2:,:2]                         #左下角块
B=np.vstack((np.hstack((A1,I)),     #连接
             np.hstack((I,O))))
print(B)

利用代码内部的注释信息，不难理解该程序。运行输出

[[-1  2  1  0]
 [ 1  1  0  1]
 [ 1  0  0  0]
 [ 0  1  0  0]]

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