算法导论随笔(二): 归并排序与分治策略

在上一篇文章中，我提到了两个排序算法，冒泡排序和归并排序。对于冒泡排序，上一篇文章中已经介绍了它的复杂度为什么是O(n²)。在这一篇文章中，我来写写归并排序的原理以及如何计算它的复杂度。

归并排序(Merge Sort)

首先介绍一下归并排序。归并排序(Merge Sort)是一种经典的排序算法，它的复杂度是O(nlogn)。 对于刚接触算法的同学来说，这个表达式可能比较奇怪。在后文中会介绍它的复杂度为什么是O(nlogn)。

注意: 在算法领域，logn是log₂n的缩写，即以2为底n的对数，一定不要混淆。(尤其是数学或其他领域中logn或lgn可能是指以10为底n的对数)

这个算法使用的是分治策略(Divide-and-conquer)。算法分为3个部分，即分解(Divide)，解决(Conquer)和合并(Combine)。我们用一个例子来看下。

首先来看分解部分的运行示例图：

假设我们有8个数字作为输入，那么归并排序的第一步就是把这8个数字平均分成两组，每组4个数字。接着，这两组4个数字又分别被分为2组，每组两个数字。接着继续分组，直到每组只有一个数字。这一部分的目的是将问题尽可能地分解，直到没法再分解为止。此时，由于问题已经被分解为最小，因此每一个问题也最简单，使我们可以在一个单位时间内就解决1个问题。比如图中8个数字被分为8组，由于每一组只有一个数字，所以每组的数字都是排好序的（因为只有1个数字，所以这个数字就是排好序的）。

接下来看解决和合并部分。所谓解决，就是把分解后的简单问题求解。而合并，就是已解决的简单问题的解法，通过合并，一步一步得到最初的复杂问题的解法。

上图中，85和24是两个排好序的数字通过合并和进一步的解决，得到1组2个排好序的数字24和85，类似地63和45也得到45和63。接着这2组2个数字的数组，又被合并和解决得到24，45，63，85这个排好序的数组。而图中右半部分也得到17， 31， 50， 96这4个排好序的数字。最后，两组数字再一次通过合并和解决，得到最后的结果。

归并排序的分析

前文中提到，归并排序算法的复杂度是O(nlogn)。这个结果是怎么计算出来的呢？这里要使用到二叉树的概念。归并排序算法的执行可以用一颗二叉树来表示。首先我们用MERGE_SORT()代表算法的主函数（分解+解决），也就是递归调用的函数；用MERGE()代表合并过程。
程序MERGE_SORT的伪代码如下：

算法的主要思路就是找到初始数组的中点，然后将数组平均分为两半，再对两个子数组递归调用MERGE_SORT函数。最后再调用MERGE函数来进行合并。我们可以看以下二叉树：

图中二叉树的每一个节点代表了一次对于MERGE_SORT的递归调用。每个节点(Node)中箭头左侧的数字是调用之前的数组，箭头右侧代表的是调用函数后得到的结果数组。这棵树的根节点(root)代表了第一次对MERGE_SORT的调用；其他每一个节点都代表了一次对MERGE_SORT的递归调用。而叶子(leaf nodes)节点(蓝色的节点)代表了MERGE_SORT的停止点，也代表了解决和MERGE合并的开始。

对于一课有n个叶子节点的完全二叉树，该二叉树的高度(height)为
h e i g h t = l o g ( n ) height = log(n)