区间信息的维护和查询系列算法-树状数组

二叉索引树（树状数组）

树状数组的学习是看的这篇博文，从树状数组的作用， 原理和实现来讲解。仔细看看会有收获，下面是我自己的对树状数组的体会。

1.树状数组的应用。
当我们求解一个动态连续和查询问题的时候，树状数组就派上了用场， 它是一种数据结构，进行连续和查询时的时间复杂度为O（logn）。

从上图中我们可以发现一个规律，由a数组和c数组组成，
c[1]=a[1];
c[2]=a[1]+a[2];
c[3]=a[3];
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
c[5]=a[5];
c[6]=a[5]+a[6];
c[7]=a[7];
c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

相信大家也都看出规律来了，要根据i的奇偶分两种情况。
当i为奇数时，c[i]=a[i];
当i为偶数时，要看i的因子中最多有2的多少次幂，例如4=2^2,6的因子为2=2^1，8=2^3；所有4，6，8分别由4,2,8个a数组元素组成。且都是由i向前数相应的数。例如c[6]=a[5]+a[6];

(一)公式
ci=a(i-a^k+1)+………+an（其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数,数到1就停止，当为奇数的时候低位总是1，所以k=0）。偶数可以自己动手算一下。

于是就有了树状数组的一个重要的因素。

int lowbit(int x)
{
     return x&(-x);    
}

在这里解释下该算法的含义，（来自白书）我们知道在计算机中，整数都是以其补码的形式表示的，因此-x实际上是x按位取反再加1的效果，
38288=1001010110010000
-38288=0110101001110000
与运算之后，前面的全变成0，之后的lowbit位不变，返回2^k;

求和
注意n-lowbit(n)的含义

int Sum(int n)
{
    int sum=0;
    while(n>0)
    {
         sum+=c[n];
         n=n-lowbit(n);
    }    
    return sum;
}

动态修改

void change(int i,int x)
{
     while(i<=n)
     {
          c[i]=c[i]+x;
          i=i+lowbit(i);
     }
}