算法导论思考题14-2 Josephus permutation 约瑟夫排列

约瑟夫问题的定义：假设n个人排成环形，且有一个正整数 m <= n。从某个指定的开始，沿环报数，每遇到第m个人

就让其出列，且报数进行下去。这个过程一直进行到所有人都出列为止。每个人出列的次序定义了整数0,1,2，...n-1

的(n, m)-约瑟夫排列。例如(7, 3)约瑟夫排列为<2，5，1，6，4，0，3>。

原始办法是非常直观的O（mn）算法。

分析约瑟夫排列问题，

首先可以坑定约瑟夫环的运算时间绝对大于等于O（n），这点毫无疑问。

还有就是数据大小与约瑟夫序列毫无关系。

只有序列的下标位置与约瑟夫排列有关。

一个约瑟夫排列的产生取决于两个量，一个是总数n，另一个是m，也就是每次跳跃的数量。开始是第一个人m号出列，然后是2m号，但是约瑟夫排列还存在循环问题。

继续看O（n）这个时间，这真的是约瑟夫排列的下线吗？是否存在一个约瑟夫排列他的运行时间是O（n）？

回答是：存在，当m  = 1时，获得约瑟夫排列的时间是O(n)。

在看看约瑟夫环是否有最坏时间呢？

加入m = n，会发生什么事情呢？这样的情况下，没有具体的数据结构和算法是不能预估其计算时间的。

为了获得约瑟夫环，我目前只知道m和n能决定约瑟夫排列。对于每一个数据来说，它出现在最终排列的位置在[1,n]之间，这个最终排列的位置取决于什么呢？

可能的有：

1.这个数据的索引位置i

2.总数据量n

3.跳过间歇m

这三个量是影响这个数据在最终序列的位置的可能的关键变量。

仔细看也不全是这样。

如果当m = 1的时候，总数据量n并不会影响第i个数据出现在最终约瑟夫序列中的位置。

还有当i%m = 0 的时候，同样n也不会影响第i个数据出现在最终序列的位置。

这个例子可以看出，i，m，n之间的关系绝对是分情况的，这种情况可能是常量种情况或者随着n和m的变化而变化的情况数量。

变量种情况是不利于实现的。

实现这样一个约瑟夫序列生成的问题目前有以下几个：

1.如何快速实现从第i个输出的节点到第i+1个输出节点的查找？

换句话说就是如何在已经输出了i个节点的情况下，怎么快速判定，第i+1个输出节点。也就是和第i个输出的节点间隔m的那个节点。

问题可以稍微化简一点。

如果知道当前的节点总数n，和上一个输出节点x（其在n中的下标为x-index），那么我要知道下一个输出的数据是x后面第m个数。从全局来看就是从一开始第

（x-index + m）%n个数，输出之后n自减。换句话说我现在只需要每次求第（x-index + m)%n个数即可。从每次循环的过程来看。

假设一开始有n0个元素。

那么第一个输出的数据的下标为 x-index0 = m

第二个输出的数据在n0-1个元素中的位置为 x-index1 = （x-index0 + m - 1）%（n0-1）

第三个输出的数据在n0-2个元素中的位置为 x-index2 = （x-index1 + m - 1）%（n0-2）

。。。。。。

为了查找地x-index个位置的元素数据，

最快可以O（1）的时间，结合数组的数据结构，但是不便于维护。因为数组的元素下标固定，并且在上面每一次递归过程中都可能会发生改变，所以单纯的数组是不便利的。

由于这样的原因则只能抛弃使用下标来索引数据。但是为了快速获得第x-index个数据，除了下标直接索引之外就是使用二分法以O（logn）来查找这个数据。使用二分法的基本条件是需要有顺序关系，这一点上有很多数据结构都满足条件。

现在已经获得两个数据结构的有关特性了。

1.不能直接使用下标，这意味着数据可能是动态分配的。（因为静态分配大多都是连续空间）

2.需要保持数据之间的先后关系，以便于二分查找。

而且每次递归的过程中数据规模都会减1，也就是会删除掉第一个数据，不在放入下一次递归中去。

所以条件3是：

3.能够快速删除的数据结构。

还有最重要的是能够快速索引到第i个数。

4.能够快速索引的数据结构。

有了这几个相关信息，明显在说红黑树，不过也是存在别的方案的。由于无法使用O（1）的索引方式获取数据，只能使用二分查找来获取。那么二分法时间就是O（logn），对于n个数据来说总时间至少是n*O(logn) = O(nlogn)的最低时间，因为还要考虑删除的时间，如果删除的