完全背包问题

这个是从PPT上弄过来的。

完全背包问题：

¡有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。放入第i种物品的耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。

¡求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大

基本思路：

¡这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。

¡从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……直至取⌊V/Ci⌋件等很多种。

¡如果仍然按照解01背包时的思路，令F[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：

¡

¡

¡求解状态F[i,v]的时间是O(V/Ci)

¡总的时间复杂度为

简单的优化：

¡若两件物品i、j满足Ci<=Cj且Wi>=Wj，则将可以将物品j直接去掉，不用考虑。

§优化操作的时间复杂度O(NlogN)

¡首先将费用大于V的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以O(V+N)地完成这个优化

转化为01背包求解：

¡最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选⌊V/Ci⌋件，于是可以把第i种物品转化为⌊V/Ci⌋件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。

§时间复杂度没有变化

¡二进制优化

§把第i种物品拆成费用为Ci*2k、价值为Wi*2k的若干件物品，其中k取遍满足Ci*2k <=V 的非负整数。

§时间复杂度 

void solve(int n,int v){

int i,j,ck,wk;

dp[0] = 0;

for(i=1;i<=v;i++) dp[i] = INF;

for(i=0;i<n;i++){

for(ck=c[i],wk=w[i];ck<=v;ck+=c[i],wk+=w[i]){

for(j=v;j>=ck;j--) dp[j] = MIN(dp[j],dp[j-ck]+wk);

}

}

}

void solve(int n,int v){

int i,j,ck,wk;

dp[0] = 0;

for(i=1;i<=v;i++) dp[i] = INF;

for(i=0;i<n;i++){

for(ck=c[i],wk=w[i];ck<=v;ck<<=1,wk<<=1){ for(j=v;j>=ck;j--) dp[j] = MIN(dp[j],dp[j-ck]+wk);

}

}

}